jueves, 10 de agosto de 2017

Dodecálogo de un docente (de matemáticas), del Prof Luis Balbuena Castellano


En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS  ya hemos recogido

Hoy taremos a este blog en dodecálogo de un docente (de matemáticas) de nuestro admirado profesor Luis Balbuena Castellano. [Fuente: Diario de las Palmas, 3 de junio de 2017]

He tratado de sintetizar en este dodecálogo algunos principios. Los aporto y comento brevemente, sin dogmatismo. Mi autoridad en este momento solo está avalada por dos detalles: los años y un ejercicio responsable y comprometido de la docencia. El orden de presentación no responde a ningún criterio jerárquico.

1.- Trabaja con ilusión. Y que el alumnado lo note. Debemos enamorarnos ciegamente de nuestro trabajo de manera que conforme pasen los cursos nos sintamos más identificados con lo que hacemos y, en consecuencia, nos guste más. Lo que hacemos: trasmitir conocimientos, valores y actitudes, tiene una enorme repercusión. No es un tópico. Por eso, una de las peores cosas que nos puede pasar es entrar en una fase de trabajo rutinario.


2.- Vigila los detalles. El alumnado tiene una hipersensibilidad para captar los detalles día a día, aunque no lo percibamos explícitamente. Por eso es importante destacar y valorar lo que el alumno haga bien, aunque nos parezca insignificante; comprender que el éxito de un profesor no está solo en que un alumno de diez continué en el diez sino también en que el de tres llegue al menos al cinco. Su autoestima es una magnífica aliada.


3.- Cuida los cimientos. El conocimiento conocimiento matemático es acumulativo. Esto lo considero un axioma. Es como un edificio que empieza a construirse desde los primeros contactos con la Escuela. Sus ladrillos son los conceptos, los algoritmos, las figuras, la resolución de problemas, etc. Si algún ladrillo queda mal colocado, tarde o temprano se notará. Hay estudiantes que comienzan a rechazar las matemáticas en ese momento. Se dice que “tienen falta de base”. Por eso hay que crearse estrategias para averiguar con fiabilidad si las piezas acumuladas anteriormente están o no bien colocadas y, desde luego, poner bien las que le corresponda añadir al edificio.
 

4.- Compensa las deficiencias. El alumnado no es siempre culpable de su nula o deficiente formación matemática. En ocasiones es víctima del propio sistema: largos periodos esperando sustitutos, un aprendizaje poco significativo, un sistema de promoción permisivo, programas que no se acaban, etc. Situaciones en las que se vio inmerso y le produjo ese daño no siempre irreparable irreparable. Hay que aplicar estrategias compensatorias. Los que tienen interés las sabrán aprovechar.

5.- Interésate por las personas. Cada cara es algo más que un número en la lista o una foto en la ficha. Detrás de cada una hay una vida, una historia, unas circunstancias que están modelando un carácter. El profesor debe saber descifrar los códigos de esos rostros. Dedicar una frase, escuchar un lamento, comprender el mensaje de un gesto o leer la tristeza en unos ojos puede tener un efecto educativo superior a la mejor de las clases. Un claro indicador de una buena docencia es que tus exalumnos reconozcan tu dedicación al trabajo y recuerden con agrado el trato que les dispensaste.

6.- Sé feliz enseñando. Y que ellos sean felices aprendiendo. Ser felices es una coletilla que se aplica a casi todo pero se llena de significado cuando se refiere al trabajo que uno realiza. Porque se trata de identificarse con él, de hacerlo de buena gana, que sean horas distendidas y amenas y no una tortura más o menos larga.
Pero no nos confundamos, ser felices enseñando matemáticas, como es mi caso, no quiere decir que no existan escollos. Sería una demagogia educativa tratar de ocultar la dificultad que tiene el acceso al conocimiento matemático.


7.- Haz significativa la enseñanza. Utilizar el medio para enseñar matemáticas y usar las matemáticas para conocer e interpretar el medio, produce siempre un aprendizaje sólido. Por eso hay que hacer esfuerzos para explorar y explotar al máximo el entorno y los intereses del alumnado. Éste no debe acabar con la impresión de que una cosa son las matemáticas de los currículos y otra la que pueda encontrar fuera del aula. Pero las matemáticas también tienen la finalidad de ayudar a desarrollar ciertas capacidades: deducción, abstracción, reflexión crítica, análisis, síntesis, tenacidad, organizar datos...


8.- Sé pedagógicamente ecléctico. Afortunada o desgraciadamente, no existe la varita mágica que solucione los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de forma absoluta. De ahí lo de ser pedagógicamente ecléctico, en el sentido de no abrazar con fe ciega ninguna de las teorías más o menos redentoras que aparecen. No obstante, nos podemos acercar a esa varita mágica si procuramos conocer muchas metodologías y estrategias para utilizar, en cada situación, la que resulte más conveniente y de eficacia contrastada. Hay formas de conseguirlas: compartir con otros colegas en sociedades o departamentos, congresos, revistas... Siempre hay algo y alguien de quien aprender.


9.- Asume el rol de divulgador. Esta es la razón: para muchas personas, el único contacto con esta disciplina se produce en la etapa de enseñanza obligatoria. Como el joven es curioso por naturaleza, debemos usar ese recurso para dejarle el deseo saber más. En esa línea, da muy buen resultado lo que vengo llamando la dinamización matemática de los centros. Se trata de presentar al alumnado formas de acercarse al conocimiento y al razonamiento razonamiento matemático través de juegos de trasfondo matemático, trabajos de indagación, desarrollo de proyectos, etc. El Día Escolar de las Matemáticas ofrece una buena oportunidad.


10.- Sirve de referencia. Nuestro alumnado está formado por personas que están en una etapa de formación. Es una obviedad a tener muy presente por la responsabilidad que conlleva, no solo transmitiéndoles lo que nos indican los currículos, sino ofreciéndoles modelos de actuación que les sirvan de referencia, promoviendo el desarrollo de sus habilidades y capacidades (de organización, de liderazgo, de solidaridad, de tolerancia entendida como aceptación con respeto, etc). La necesaria autoridad del profesor se sustenta en su actitud, en su profesionalidad y en su cultura.


11.- Innova. Es una manera de transmitir al alumnado y a la sociedad que estamos comprometidos con nuestro trabajo. Es también una vía para conseguir que la labor docente sea viva y creativa. La innovación y la actualización son propias de cualquier profesión. Las nuevas tecnologías, por ejemplo, ofrecen recursos (¡y a qué ritmo últimamente!) para mejorar la enseñanza y el aprendizaje que debe ser obligado conocer y utilizar adecuadamente.

12.- Escucha. Un profesor debe ser un buen “escuchador”. Hablar es mucho más fácil que escuchar. Porque escuchar no consiste solo en prestar oído a lo que se nos dice sino que hay una labor posterior de asimilación, de descodificación de lo escuchado y de elaboración de la respuesta más adecuada que, no siempre, tiene que ser oral. Una sonrisa, un gesto, un tender la mano... Escuchar y responder es, por tanto, una parte importante de nuestro trabajo.

sábado, 15 de julio de 2017

Matemáticas gourmet: ¿Dónde está el centro de gravedad del contorno de un triángulo?

FALTA VIDEO



El objetivo de este artículo es mostrar la fructífera relación entre la geometría euclídea y los argumentos mecánicos. En él abordaremos el problema de determinar dónde está el centro de gravedad de un triángulo considerado como un perímetro. Es un homenaje a Arquímedes, padre de la hermandad entre la mecánica y la geometría.

Iimaginemos un triángulo en el que sus lados están construidos con barras de hierro y vacío en su interior, ¿dónde está el centro de gravedad de este triángulo-perímetro?

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSU3BJYWFSMUZ4YmM/view?usp=sharing

lunes, 10 de julio de 2017

Carta a mis alumnos al acabar el curso



Madrid, 6 de junio de 2017

Queridos alumnos:

Al acabar el curso quiero deciros que estoy muy contento de haber podido compartir el tiempo con vosotros. Hemos aprendido cosas bonitas. Hemos pasado buenos ratos. Espero que así os lo haya parecido a vosotros también. Yo he aprendido mucho de vosotros. Como decía Paulo Freire, nadie enseña a nadie, se aprende juntos. Yo siempre recordaré este curso con afecto. Y ahora que nos conocemos, para mi es una suerte ganar vuestra amistad.

Mirar el mundo con ojos matemáticos es muy bonito. Como profesor de matemáticas he intentado tres objetivos. Primero, que os gusten las matemáticas, como me gustan a mi. Segundo, que aprendieses a estudiar matemáticas (que, como os habréis dado cuenta, se aprenden de una manera muy distinta a otras materias) y, tercero, que, como consecuencia de los dos objetivos anteriores, aprendieseis lo más posible de matemáticas ahora y en el futuro. Me hubiera gustado haberlo hecho mejor. Pero, bueno,…. tenemos mucho tiempo por delante para ir mejorando.

Si alguna vez os he dado un mal ejemplo, o si os he herido en algo, o si he sido injusto, ha sido sin querer. ¡Perdonadme!

Este verano leed mucho. Pasaros por alguna librería o visitad una biblioteca y elegid algún libro de Matemáticas que os apetezca leer. A la vuelta de vacaciones me lo contáis. Pero sobre todo, creced en vuestras propias ideas, disfrutad de la amistad, sed curiosos, interpretad el mundo para hacerlo más justo y más bello, cargad las pilas.

Con mucho cariño. Vuestro profe de Mates.

Ángel

jueves, 1 de junio de 2017

Problema de Monty Hall (un trabajo de Daniel y David)


Aquí presentamos en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÄTICAS el trabajo hecho por Daniel Reinosa y David Sampedro, alumnos de primero de Bachillerato. Una explicación muy clara del Problema de Monty Hall. Podéis ver un vídeo y luego leer un texto. Espero que os guste.




Problema de Monty Hall

Imagina que estás en un concurso, el presentador te muestra 3 puertas. Detrás de una de las puertas está el premio principal, un coche. Detrás de las otras 2 puertas hay premios de consuelo, 2 cabras. No tienes forma de saber cuál puerta tiene cada premio, recibirás el premio que esté detrás de la puerta que elijas. Se te pedirá que elijas una puerta, pero antes de abrirla el presentador abrirá una de las otras 2 puertas. Él sabe dónde está el coche, y siempre abrirá una puerta que tenga una cabra. Luego te preguntará si deseas cambiar la puerta elegida, por la otra que aún está cerrada.
La pregunta es: ¿Deberías cambiar de puerta o quedarte con la que elegiste? ¿O no habría ninguna diferencia? ¿Cuál te daría la mayor probabilidad de ganar el coche?
 La mayoría de la gente diría que no habría diferencia entre cambiar o no. Detrás de una puerta cerrada hay una cabra y detrás de la otra puerta cerrada está el coche. Entonces, la probabilidad de ganar el coche es de 50/50 y no habría diferencia entre cambiar o no. Esto suena perfectamente lógico, pero no es correcto.

El problema de Monty Hall es acerca de posibilidades. El problema es fácil de entender, pero la respuesta es contra-intuitiva. ¿Qué deberías hacer?  La respuesta es que SIEMPRE deberías cambiar, porque te da el doble de probabilidad de ganar el coche.
¿Por qué? Hay varias maneras de explicarlo, pero la más simple, es examinando tus posibilidades de ganar el coche para cada elección.  “Cambiar ” o “no cambiar”.
Veamos qué pasa si elijes “no cambiar”. Al comienzo, tenías que elegir una puerta. Como hay tres puertas y sólo 1 contiene el coche, la probabilidad de elegir el coche es de 1/3, o de un 33%. Y como hay 2 cabras, la probabilidad de elegir una cabra es de 2/3, o de un 66%. Si no cambias de puerta no importa cuál de las otras puertas abra el presentador, porque te quedarás con tu primera elección. Y tu probabilidad de haber elegido el coche es del 33%, y la probabilidad de haber elegido una cabra es del 66%

Veamos las consecuencias de cambiar de puerta. Consideremos qué pasaría si por casualidad elegiste el coche por primera vez (un 33% de posibilidades). Es obvio que si elegiste el coche al principio y luego cambias, terminarás con una cabra. Entonces, si cambias ganarás una cabra el 33% de las veces. ¿Qué pasa si al comienzo habías elegido una cabra? Aquí está el centro del problema. Esta vez hay sólo una cabra que el presentador puede revelar, por lo que abrirá la única otra puerta con una cabra. Y luego cambias a la otra puerta cerrada, el coche.

De hecho, cada vez que eliges una cabra la primera vez y luego cambias, ganarás el coche, y las posibilidades de haber elegido una cabra al principio eran del 66%.
Cambiando, tienes un 33% de posibilidades de ganar una cabra (habiendo elegido el coche al comienzo),  y un 66% de posibilidades de ganar un coche (si habías elegido al principio una cabra).
Entonces, siempre deberías cambiar a la otra puerta cerrada. ¿Por qué? Porque si lo haces tendrás un 66% de posibilidades de ganar el coche y sólo un 33% si no cambias. Y eso duplica tus posibilidades

domingo, 28 de mayo de 2017

Solución del problema de Regiomontano


Aquí se pueden ver dos modos de resolver el problema de Regiomontano planteado en la entrada anterior

http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2017/05/problema-de-regiomontanus-problema-de.html

Hay dos soluciones:

- SOLUCIÓN GEOMÉTRICA. Una solución basada en el uso de la geometría, el concepto de aco capaz y el concepto potencia de un punto con respecto a una circunferencia,

 - SOLUCIÓN ANALÍTICA. Otra solución está basada en el concepto de derivada, usando lal función tangente.

sábado, 6 de mayo de 2017

Problema de Regiomontanus. Problema de Cristiano Ronaldo

Una de las mejores maneras de aprender matemáticas es hacer problemas clásicos. A ser posible de varias formas diferentes. De este modo, no sólo se aprenden matemáticas sino que se adquiere un gusto extraordinario, inclusio pasión, por las matemáticas.

Aquí se propone el clásico problema de Regiomontano. De entrada se proponen varias formas de abordarlo. Quizás haya muchas más. En muchos libros viene planteado y resuelto.

He propuesto a mis alumnos de primero de bachillerato el Problema de Regiomontano como desafío. De momento ya tengo alguna respuesta. Pero voy a esperar unos días para poner en este blog las mejores de las que me hagan mis  alumnos.

Biografía de  Regiomontano 





Para los que gustáis de GEOGEBRA podéis visitar este enlace

https://www.geogebra.org/m/nn5WbrDE










domingo, 2 de abril de 2017

La suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es un llano

"La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre un llano."
Este es quizás el primer teorema de geometría que se presenta a los alumnos. Es un teorema que abre la puerta al estilo y la estética de los teoremas de la Geometría. Por eso mismo hay que festejarlo como se merece. Para ello, hemos construido, con piezas de madera y unas bisagras esta construcción que evidencia que, efectivamente, los tres ángulos de un triángulo suman un llano.



Muy conocido es el método de evidenciar el teorema doblando papel.

1. Se pide a los alumnos que hagan un triángulo de papel. Cada uno el que quiera.


 2. Se elige uno de los lados.
3. Se traza (doblando el papel) la altura de ese lado.

4. Se divide esa altura por la mitad. de este modo se señala la paralela a la base por el punto medio de la altura

5. Por esta línea se lleva el vértice opuesto a la basa sobre ella.
 
6. Se llevan los otros dos vértice sobre la base.  

lunes, 13 de marzo de 2017

Los alumnos aprenden a hablar, demostrar y resolver en matemáticas elaborando vídeos

Decía Ludwig Wittgenstein que el jucio es declarativo.  Es decir, que para elaborar un pensamiento lógico es necesario un soporte linguístico. Es por eso que hacer matemáticas es esencialmente expresar razonamientos, comunicar ideas, explicar problemas,.... Lamentablemente, la dinámica de estudiar, sólo para preparar exámenes, no deja mucho espacio a  hacer demostraciones y practicar la comunicación en matemáticas.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos una entrada al libro de Miguel de Guzmán.

 
He propuesto a mis alumnos de primero de bachillerato que hagan vídeos, haciendo algunas de las demostraciones que vamos viendo a los largo del curso. Sorpredentemente esta actividad ha despertado gran pasión en los alumnos que se han puesto a la tarea con mucho gusto. Estoy muy satisfecho del trabajo que han realizado.

No puedo poner todos los vídeos que han hecho mis alumnos, porque harían difícil descargar esta entrada. Sólamente voy a poner algunos de muestra.

Teorema del seno y su interpretación Geométrica



Demostración del teorema del coseno



Demostración del teorema del seno



Los números complejos



Teorema de las cuerdas



Completar cuadrados en la ecuación de una circunferencia



Ecuación reducida de la elipse 

martes, 21 de febrero de 2017

Obtener la gráfica de la función seno cortando un cilindro



Sobre un cilindro hemos enrrollado una hoja de papel. Después hemos cortado el cilindro de manera oblicua. El resultado del corte, como es conocido, es una elipse. Luego desplegamos el papel y resulta.... La gráfica de una función sinusoidal.

El reto que os proponemos es hallar una demostración analítica de que, en efecto, la curva obtenida es la gráfica de una función sinusoidal.

En unos días aparecerá aquí nuestra respuesta. Se agradecen sugerencias.


domingo, 22 de enero de 2017

Péndulo de Huygens. Una aplicación de las propiedades de la cicloide



En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la curva Cicloide y sus propiedades:
Hemos comprobado experimentalmente que la curva que describe el péndulo de Huygens es precisamente la cicloide. Puedes verlo en el vídeo.

 EL SIGUIENTE TEXTO ES DE MIGUEL DE GUZMAN Y APARECE EN EL LIBRO "AVENTURAS MATEMÁTICAS"  


Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.
 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 
 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 
 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 

que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 
 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.



PARA APRENDER MÁS Y DISFRUTAR DEL GEOGEBRA TE INVITAMOS A VISITAR ESTE TRABAJO DE CARLOS FLEITAS


http://matematicainteractiva.com/pendulo-de-huygens-propiedad-tautocrona-de-la-cicloide