lunes, 26 de diciembre de 2016

"¡Quién te ha visto y quién te ve!" Dos propuestas para animar los problemas de matemáticas



Uno de los retos que se plantean los profesores de matemáticas es proponer problemas que sean atractivos y estimulantes para los alumnos.

Hay propuestas muy conocidas de problemas para "pensar" que tienen algo de reto: Son el modelo de  El concurso de Primavera o Kanguro Matemático.

Aquí presentamos otras dos propuestas:

La primera la titulamos "¡Quién te ha visto y quién te ve!". Consiste en tomar un problema aburrido y mecánico basado en la mera aritmetica en otro más atractivo con soporte gráfico y opciones de ampliación y de investigación.

https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSSXNrVUdib2cxdW8/view?usp=sharing




La segunda propuesta está inspirada en las pruebas PISA. Se parte de un cebo donde se pantea una situación cercana al mundo de los alumnos y, a apartir de ella, se le proponen diferentes cuestiones que se resuelven usando las matemáticas.

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSRG56eTBRcEMzWGs/view?usp=sharing


jueves, 22 de diciembre de 2016

Matemática Gourmet: Significado de la razón de un lado al seno del ángulo opuesto. Interpretación geométrica de la ley de los senos


En APRENDER y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya hemos dedicado varias entradas a tratar cuestiones de Geometría clásica.

Si te interesa, en esta entrada puedes leer unas reflexiones sobre la didáctica de geometría y su importancia en la formación matemática


Para rescatar la afición por los problemas de Geometría y el gusto en las demostraciones nos proponemos ir elaborando una colección de vídeos con demostraciones de gemetría al nivel de los alumnos de últimos cursos de la ESO y del Bachilleato.

"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces" Baltasar Gracián


Otras entradas dedicadas a la Geometría:

Entradas dedicadas a la Geometría

Otras entradas dedicadas a la Geometría

jueves, 15 de diciembre de 2016

La braquistocrona y la tautocrana



Ya anteriormente hemos dedicado varias entradas de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS a una curva tan atraciva como es la CICLOIDE.

 
Hemos diseñado un artilugio que permite visualizar las propiedades de la cicloide como curva BRAQUISTOCRONA y como curva TAUTOCRONA.

Para ello hemos recortado una cicloide en un tablero de madera no muy gordo para poderlo cortar con una sierra de marquetería de arco. Hemos pegado una plancha de plástico transparete hasta completar el tablero.
Este montaje lo hemos colocado sobre un soporte de madera de tal manera que el tablero forma un plano inclinado. Al inclinar el tablero logramos relentizar la caida de las bolas que ruedan siguiendo el perfil de la cicloide. Con esta inclinación también conseguimos usar canicas un poco grandes, aunque el tablero es fino.
El usar el plano inclinado no altera las propiedades de la caida libre, ya que lo que hace es sólamente disminuir la componente vertical del peso.

Con la ayuda de unos alumnos de tercero de la ESO, hemos filmado a cámara lenta estos experimentos usando la cámara de un móvil.

BRAQUISTOCRONA

Solatmos dos bolitas en los dos extremos del perfil. Una se desliza siguiedo una recta (hecha con un listoncillo) y la otra siguiendo una de las ramas de la cicloide. La bola que se desliza por la cicloide llega antes.



TAUTÓCRONA 

Soltamos dos bolitas, una en cada rama de la cicloide, desde distintas alturas. Las dos bolitas llegan al mismo tiempo.



PARA SABER MÁS Y DISFRUTAR DE UNA SIMULACIÓN CON GEOBEBRA 

http://www.matematicainteractiva.com/la-cicloide-propiedad-tautocrona

 


miércoles, 9 de noviembre de 2016

Construir un reloj de Sol. Primera parte.


La propuesta es realizar el proyecto de construir un reloj de Sol para practicar la goemetría y aprender un poco de Astronomía.

Preguntas iniciales:

1. ¿Cuál es la latitud y la longitud del punto donde de va a ubicar el reloj de sol?
2. El mediodía solar es la hora a la que el Sol cruza el eje N-S. Es el momento en que el Sol se encuentra en el punto más alto. ¿A qué hora oficial ocurre? (Es necesario conocer la longitud del lugar).

Empezamos por construir un reloj de sol ecuatorial (el más sencillo). He preparado unos esquemas. A partir de ellos y unas explicaciones básicas .... a investigar un poco más y ..... manos a la obra!!!


Las ideas clave:

 - La Tierra gira uniformemente en torno a su eje, dando una vuelta cada 24 horas. La estrella polar está fija, mientras que todos los astros (incluido el Sol) giran alrededor del eje que nos une con la estrella polar.

- Un palo (gnomon) que apunte hacia la estrella polar proyecta una sombra que gira uniformemente sobre un plano paralelo al ecuador.

La propuesta didáctica es meterse de inmediato a hacer ya el reloj de Sol. Haciendo el reloj comprenderemos cada vez mejor el fenómeno astronómico. Se pueden buscar  en internet varios modelos de reloj se sol ecuatorial. Para llevar a la práctica la construcción del reloj solar lo mejor es echar mano de los materiales que tenemos más a mano(cartón, palillos de pincho moruno) Empezaremos por un prototipo. Para inspirarnos vamos a buscar, observar .... Tener un problema en la cabeza.

Pista: En inglés·"reloj de sol" se dice "sundial

 









jueves, 15 de septiembre de 2016

Matemática Gourmet: Construcción geométrica para hallar el inverso de un número

 En este enlace



https://www.geogebra.org/m/Ps8XCjaN

Puedes ver una constrcción geométrica de regla y compás para, dada la abscisa a de un punto (rojo) hallar la abscisa de su inverso 1/a, (verde).

Mueve usando el ratón el punto rojo para ver cómo funciona la construcción.

El reto que propone APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS es hacer la demostración.

PISTA: La circunferencia es de radio la unidad. Usar la semejanza de triángulos y el hecho de que los ángulos inscritos en una semicircunfereencia son rectos.

domingo, 29 de mayo de 2016

Grandes temas de la Matemática. Adrián Paenza


Durante el año 2014, el canal de divulgación científica de la televisión pública argentina, TEC-tv, produjo estos trece capítulos presentados por Adrian Paenza

Grandes temas de la matemática

El reconocido divulgador Adrián Paenza nos acerca interrogantes que tienen a la matemática como protagonista: ¿Es posible anticipar si un fenómeno se va a producir o no? ¿Cuál es la importancia de la noción de límite? ¿Cuántos problemas abiertos existen? ¿Qué son los números primos? Con su habitual sentido del humor, didáctica y la colaboración de especialistas invitados, el conductor nos demostrará que no sólo es posible responder estos cuestionamientos, sino también descubrir que la matemática nos acompaña en nuestra vida cotidiana y no es para nada aburrida.
Año de producción


Capítulo 1. El número PI
Capítulo 2. Los números primos
Capítulo 3. Los problemas abiertos
Capítulo 4. Fibonacci
Capítulo 5. Número E
Capítulo 6. Teoría de los juegos
Capítulo 7. Curvas
Capítulo 8. Probabilidades
Capítulo 9. Lógica y paradojas
Capítulo 10. Noción de límite
Capítulo 11. Topología
Capítulo 12. Combinatoria
Capítulo 13. Infinito



martes, 17 de mayo de 2016

¡EUREKA! Recreamos el Principio de Arquímedes


Es bien conocida la historia de Arquímedes saliendo desnudo del baño, gritando por las calles de Siracusa ¡Eureka! ¡Eureka!

El rey Hierón II había entregado a un joyero un lingote de oro para que le fabricase una corona. Una vez recibido el encargo, el rey desconfiaba de que el oro no hubiese sido mezclado con otro metal menos denso. La corona, ciertamente pesaba lo mismo que el oro entregado, pero ¿estaba hecha de oro puro?

La idea genial de Arquímedes fue pesar el lingote de oro y la corona sumergidos en agua. Cuando hacemos esto, el empuje del agua sobre la corona  falsa es mayor que el empuje sobre el lingote, ya que al tener la corona más volumen desplaza más líquido.

Principio de Arquímedes. Todo cuerpo sumergido en un líquido, experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen del líquido que desaloja. (El líquido tiende a ocupar su espacio y empuja al objeto intruso)    

EL EXPERIMENTO

Hemos recreado el experimento de Arquímedes para que los alumnos lo puedan vivir por sí mismos.

Hemos construido dos piezas de igual peso. Una, de metal dorado (el tirador de una puerta), que representa el lingote de oro. Otra, (un huevo de madera, lastrado hasta conseguir que pese lo mismo que la primera pieza, pintado de purpurina), que representa la corona adulterada.

También nos hemos construido una balanza, capaz de detectar cuando los pesos de ambos brazos están equilibrados.

1. Pesada en el aire

Estas dos piezas pesadas en el aire equilibran un balanza.

2. Pesada sumergidas las piezas en agua

¿Qué pasará si metemos las piezas un sendos vasos de agua, y repetimos la pesada?

La falsa corona sufre un empuje mayor que el lingote, debido a su mayor volumen que desplaza una mayor cantidad de agua. Con lo que la balanza se desequilibra.

Vídeo del experimento


    

PROBLEMA NUMÉRICO

Se dispone de dos piezas de metal A y B, ambas de 1 kg de peso.
La pieza A está hecha de oro puro. Y la pieza B a partes iguales en masa de oro y de plata.
La densidad del oro es 19,32 y la densidad de la plata es 10,5.
¿Cuál es la diferencia de pesos aparente de estas dos piezas cuando se pesan sumergidas en agua?

Respuesta: 21,75 g.
 

jueves, 12 de mayo de 2016

Demostración de Dundeney del Teorema de Pitágoras

Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
( H.E. Dundeney 1917)

Esta es la pimera demostración en la que se costruyen las áreas de los cuadrados de los catetos, a partir del cuadrado de la hipotenusa usando sólamente traslaciones (sin usar movimientos inversos)

Para visualizar mejor la demostración hemos usado papel de imán.







Para saber más sobre el teorema de Pitágoras, puede visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS




viernes, 6 de mayo de 2016

Matemáticas Gourmet: "¿Por qué la Torre Eiffel tiene forma de exponencial?" (Una ecuación funcional)




La peculiar forma de la Torre Eiffel no es sólo una cuestión estética. Tiene un motivo técnico: la estructura está construida con vigas de hierro remachadas. Con presión elevada, las vigas se doblan y los remaches saltan. Por ejemplo, si la torre tuviese forma cilíndrica los remaches situados cerca de la base recibirían una presión insoportable.

Esta circunstancia constructiva condiciona que la forma de la torre debe ser tal que todos los remaches, independientemente de la altura a la que se encuentren en la torre, deben soportar igual presión.

Planteémonos, pues, el siguiente problema:

Diseñar una torre (infinitamente alta) de modo que las secciones a cualquier altura reciban la misma presión.



jueves, 14 de abril de 2016

Matemáticas Gourmet. "Las esferas de Dandelin"



Por Antonio Rubio y Ángel de la Llave


Hoy traemos al apartado de Matemáticas Gourmet, con plena justicia, una demostración de Dandelin sobre las propiedades de la elipse, que titulamos “Las esferas de Dandelín

Es frecuente dar dos definiciones de la elipse:

1) Como lugar geométrico del plano (“La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante”) y

2) Como curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo que corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

Una demostración muy clara de la equivalencia de ambas definiciones viene en el libro de “Calculus”, de Tom Apóstol, que la presenta así:
“Hay un razonamiento muy simple y elegante que prueba que la propiedad focal de una elipse es consecuencia de su definición como sección de un cono.
Esta demostración fue descubierta en 1822 por el matemático belga G.P.Dandelin (1794-1847) utilizando dos esferas que son tangentes al cono y al punto secante tal como indica la figura 6.11. Estas esferas son tangentes al cono a lo largo de dos circunferencias C1 y C2. Se demostrará que los puntos F1 y F2 de contacto de las esferas con el plano son precisamente los focos de la elipse”

Desde que estudias la demostración de Dandelin quedas enamorado de ella.

La demostración se basa solamente en el hecho de que las distancias de las tangentes trazadas desde un punto a una esfera miden lo mismo. La demostración  de este lema la puedes leer más abajo.

Una vez establecido este lema, la demostración de Dandelin es una línea. Basta mirar la construcción para entenderla a la primera.

Por ello hemos construido un modelo tridimensional utilizando materiales de andar por casa. Puedes ver el resultado en esta foto y en este vídeo


Demostración 

Considerando las tangentes trazadas desde P a la primera esfera S1
PA1 = PF1
Cnsiderando las tangentes trazadas desde P a la segunda esfera S2
PA2 = PF2

Por consiguiente

PF1 + PF2 = PA1 + PA2 = la distancia  entre los paraleos C1 y C2 = constante

Lema

La longitud de cualquier tangente trazada a una esfera desde un punto exterior es una cantidad fija.

Demostración

En efecto, si P es el punto exterior, O es el centro de la esfera de radio r y T es el punto de tangencia en la superficie esférica. Por el teorema de Pitágoras resulta que PT es un cateto del triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la distancia PO y por otro cateto el radio, r, de la esfera.

Como consecuencia, el lugar geometrico de los puntos de tangencia de las tangentes trazadas a una esfera desde un punto, es un paralelo de la esfera. 



Para los amantes de la bibliografía, la demostración de Dandelin viene recogida en casi todos los cursos de geometría clásica.:

Recomendamos: Elements de Geometrie de FGM, Geometría FTD, Geometrría superior de Bruño, etc. Para los aficionados a las matemáticas diré que uno de los estudios más brillantes de las propiedades de las cónicas está, como es habitual, el libro de Geometría Métrica  de Pedro Puig Adam (libro II, lección 27).


domingo, 13 de marzo de 2016

Problemas para pensar


PROBLEMA DE LOS TRENES DEL PACÍFICO

Por la vía férrea del Pacífico, que une Nueva York con San Francisco, circulan los trenes directos entre las dos ciudades, que salen de una y de otra todos los días a las siete de la mañana y emplean siete días en el trayecto. Se pregunta: ¿El tren directo que sale de Nueva York con cuántos trenes directos se cruzará en su camino?


Fuente: "Ciencia recreativa" J. Estalella"

PROBLEMA DE LOS CILINDROS

La profesora reparte a sus alumnos una hoja de papel para que hagan un cilindro y calculen su volumen.

Alex lo hace así (enrollando sobre el lado corto):    


Berta lo hace así (enrollando sobre el lado largo): 

 
¿Tienen volúmenes iguales ambos cilindros?  Si no es así, ¿cuál es el de mayor volumen?


PROBLEMA DEL AVIÓN DE RECONOCIMIENTO

Un avión de reconocimiento vuela a 20.000 metros de altura. a) ¿Qué área de la superficie terrestre es capaz de observar? El radio de la Tierra es 6.371 km.

b) Generaliza el problema  para un observador que se halla a una altura h sobre la superficie terrestre.

c) Aplica la fórmula obtenida para los siguientes casos: 1) La Estación Espacial Internacional que está a 418 km. 2) Los satélites de la red GPS que están a 22.000 km. 3) Los satélites geoestacionarios que están a 35.787 km. Haz una gráfica.


https://docs.google.com/document/d/1CNhZ3JP8kINrIegSlvczpejrIMmHWUN_v-scGY_ztnk/edit?usp=sharing


SOLUCIONES

 https://drive.google.com/file/d/0B4v2X7m-6nDSdWJZbm5YcHk0dlU/view?usp=sharing

lunes, 22 de febrero de 2016

Método de Galileo de medir el área debajo de la cicloide.



En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁSTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la cicloide 

Ahora traemos el recuerdo de un experimento de Galileo.

Galileo, pensaba que la forma de las cicloides era ideal para construir arcos. Así que empezó a estudiar sus propiedades. Para calcular el área debajo de la cicloide se le ocurrió recortar en madera una cicloide y comparar su peso con el de tres círculos como los que generan la curva. Sorperendentemente el área debajo de la cicliode es excatamente TRES veces el área del circulo que la ha generado.


jueves, 4 de febrero de 2016

El hiperboloide elíptico de una hoja



Una de las cosas que más sorprende a la gente es que superficies muy alabeadas estén hechas a base solo de rectas. De hecho, algunas personas me comentaron que es un efecto óptico. A este tipo de superficies se les llama superficies regladas. En una definición más precisa, las superficies regladas se caracterizan por que para cada punto de la superficie hay una recta que pasa por él y que está completamente contenida en la superficie. Las superficies regladas tiene mucha importancia en la arquitectura y en la ingeniería ya que son muy estables debido a que su método constructivo se sostiene sobre estructuras de vigas y los encofrados se hacen a base de listones. Por ejemplo, esta chimenea.

Una buena introducción a las superficies regladas, es usar palillos y un poco de pegamento. Aquí os mostramos dos vídeos. En el primero se puede ver cómo se genera un hermoso hipérboloide al girar una recta. En el segundo se muestra un hiperboloide completo hecho a base de palillos. Las figuras se hacen girar para ver, también cómo se pueden generar por rotación.




¿Cómo deducir las ecuaciones del hiperboloide a partir de su construcción geométrica? Es un bonito ejercicio de geometría analítica al que os invito.
Otro reto más avanzado (solo para los estudiantes de matemáticas universitarios), es buscar cuál es la caracterización diferencial de las superficies regladas.Es muy sencilla y elegante!!

lunes, 25 de enero de 2016

Caleb Gattegno y las regletas Cuisenaire






La foto está extraída del libro de Pedro Puig Adam titulado "El material didáctico Matemático actual" que ya se comentó en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS aquí 
  • CALEB GATTEGNO
En la foto aparece el profesor  Caleb Gattegno (1911-1988) uno de los más importantes matemáticos dedicado a la didáctica de las Matemáticas.


 "Yo no enseño, yo les dejo aprender" Caleb Gattegno

 Gattegno fue el gran difusor de los números de colores y las regletas CUISENAIRE

 Otra de las aportaciones didáctica de Caleb Gattegno es el Método silencioso para el aprendizaje de idiomas.
  • REGLETAS CUISENAIRE
Las regletas de Cuisenaire son un versátil juego de manipulación matemática utilizado en la escuela, así como en otros niveles de aprendizaje e incluso con adultos. Se utilizan para enseñar una amplia variedad de temas matemáticos, como las cuatro operaciones básicas, fracciones, área, volumen, raíces cuadradas, resolución de ecuaciones simples, los sistemas de ecuaciones, e incluso ecuaciones cuadráticas.

Los educacionalistas Maria Montessori y Friedrich Froebel usaron regletas para representar números.
Fue el belga Georges Cuisenaire (1891-1975) quien las introdujo para su uso con profesores a lo largo de todo el mundo a partir de 1945. Cuisenaire fue un profesor de escuela primaria de Bélgica, que publicó un libro sobre su uso en 1952, llamado Los números en colores. El uso de regletas es para la enseñanza tanto de las matemáticas como de idiomas fue desarrollado y popularizado por Caleb Gattegno, en muchos países de todo el mundo.

Sobre el uso de las Regletas Cuisenaire os invitio a leer este artículo de JOSE ÁNGEL MURCIA (Tocamates)










Si alguien desea comprarse una Regletas CUISENAIRE  o FRACTION BARS puede hacerlo aquí