martes, 30 de diciembre de 2014

La geometría del bachillerato (1934) de Rey Pastor y Puig Adam



Esta entrada está destinada a recuperar la memoria de un viejo libro de texto de matemáticas usado a principios del siglo XX.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos otra entrada a recordar la figura de D. Ignacio Suarez Somonte y su original libro de texto de geometría sin figuras ni fórmulas.

Ahora traemos aquí dos libros de Geomertría  para el bachillerato de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam, escritos en 1933.


Como dato de contexto hay que recordar que la República II derogó el Plan de bachillerato hecho durante la Dictadura de Primo de Rivera (Plan Callejo) y volvió a implantar el plan de estudios de 1903. En este plan, la Geometría se estudiaba en el tercer curso del  bachillerato con alumnos de 14 años. (Historia del bachillerato en España)

En el prólogo se explica que los libros son una adaptación hecha por Pedro Puig Adam de unos textos de bachillerato escritos por Julio Rey Pastor para la Argentina.

Hay dos versiones del mismo curso

Elementos y Complementos de Geometría (Colección elemental intuitiva) y otra que se titula Elementos de Geometría Racional en dos tomos, el primero dedicado a la geometría plana y el segundo a la del espacio. Estos últimos son los que aparecen en la imagen de más arriba.

En el libro se estructuran los conocimientos básicos de geometría de una manera muy clara y asequible. Hay algunos temas del tomo 2 que abordan resultados y métodos muy interesantes con más elaboración en los argumentos de las demostraciones. Uno de ellos es el que vamos a poner a continuación como muestra.

Ojalá pronto recuperemos el estudio de la Geometría clásica en la Enseñanza media que serviría muy bien para despertar vocaciones matemáticas

Ver:  Didáctica de la Geometría. Caja de Herrramientas de la geometria clásica

Como muestra ponemos una lección sobre el calculo de áreas en la superficie esférica. Esta lección, además, nos viene muy a propósito en nuestro estudio de Arquímedes. Disfrutad con la exposición.

 Lección 21. El área de las figuras esféricas















lunes, 29 de diciembre de 2014

La tumba de Arquímedes

 Fuente de la imagen 
http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Tomb/TombIllus.html]

En la necrópolis de Siracusa, en la puerta de Agrigento, se halla la Tumba de Arquímedes. En ella estaba esculpida una esfera dentro de un cilindro.

Los historiadores Plutarco y Tito Livio hicieron referencia a la tumba de Arquímedes. Tumba que buscó y descubrió Cicerón

En lo que sigue están recogidas las citas textuales que ghacen referencia a la tumba de Arquímedes. También podrás ver algunos cuadros que representan a Cicerón descubriendo la tumba de Arquímedes. 

La tumba de Arquímedes tenía una esfera inscrita en un cilindro haciendo referencia a lo que él consideraba que eran sus mejores ideas: 
1) El área de la superficie esférica es igual al área lateral del cilindro que la circunscribe.
2) El volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe.

Para una ampliación de la cuestión ver, por ejemplo, el artículo de Miguel de Guzmán "La mejor idea de Arquímedes"
   
Un artículo más en profundidad sobre el tema es: Arquímedes (La cubatura y la cuadratura de la esfera)

Si quieres, puedes ver antes, otras entradas de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS dedicadas a

Fuente: En el blog NO MOLESTES MIS CÍRCULOS encontramos esta entrada:

Plutarco, en sus Vidas Paralelas capítulo 17 (Pelópidas  y  Marcelo) , nos describe a Arqiímedes  de la siguiente manera:

"Arquímedes poseyó un espíritu tan alto, un alma tan profunda, así como tesoros de conocimiento científico, que aunque estas invenciones ya le habían otorgado la fama de una sagacidad sobrehumana, él no se dignó a dejar cualquier comentario o escrito sobre tales temas; pero, repudiando como sórdido e innoble todo el comercio de la ingeniería, y todo tipo de arte que se preste a mero uso y provecho, situó todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras, donde no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida.Sus investigaciones, la superioridad de quien es incuestionable por los demás, y donde la única duda puede ser si la belleza y la grandeza de los sujetos examinados, de la precisión y la contundencia de los métodos y medios de prueba, más merecen nuestra admiración."

Tito Livio (Historia de Roma desde su fundación)  Libro XXV cuenta la muerte de Arquímedes

"Entre otros muchos horribles ejemplos de furia y rapacidad, destacó el destino de Arquímedes. Queda memoria de que, en medio de todo el terror y alboroto producido por los soldados que corrían por la ciudad capturada en busca de botín, estaba él absorto en silencio con algunas figuras geométricas que había dibujado en la arena y resultó asesinado por un soldado que no sabía quién era. Marcelo quedó muy apesadumbrado y se encargó de que su funeral se llevara a cabo apropiadamente; y tras haber descubierto dónde estaban sus familiares, fueron honrados y protegidos por el nombre y memoria de Arquímedes."
Plutarco, en sus Vidas Paralelas capítulo 17 (Pelópidas  y  Marcelo) , nos describe así cómo afecto a marcelo la muerte de Arqiímedes 

"Nada afectó a Marcelo tanto como la muerte de Arquímedes, que se encontraba entonces, así lo quiso el destino, absorto trabajando en algún problema mediante un diagrama, y habiendo fijado su mente y sus ojos sobre el tema de su especulación, no había notado la incursión de los romanos , ni que la ciudad estaba siendo tomada.
En este extasis de estudio y contemplación, un soldado, de forma inesperada   se le acercaba, le ordenó seguir a Marcelo, que se negó a hacerlo antes de que hubiera acabado su demostración; El soldado, enfurecido, sacó su espada y le dio muerte."
En el libro "Al margen de la clase. amenidades matemáticas" encontramos:

[Fuente: Rafael Rodríguez Annoni. Al margen de la clase. Amenidades matemáticas. Librería general. Zaragoza1959]

Cicerón, cuando fue cuestor de Lilibea, en Sicilia, visitó la tumba de Arquímedes. En las Cuestiones Tusculanas relata así el descubrimiento de la tumba de Arquímedes así:

"Puse yo todo mi desvelo en encontrar esta tumab. Los de Siracusa me afirmaban que no exiistía en absoluto. A fuerza de buscar la encontré al fin, cubierta de zarzas y malezas. En este descubrimiento,  fui guiado por ciertas líneasde una inscripción que se decía habían sido grabadas sobre el monumento, y que se referían a una esfera y un cilindo puestas en el vértice de la tumba. Mirando entre las numerosas tumbas que se encuentran hacia la puerta de Agrigento, me fijé en una pequeña columna que se elevaba sobre los matorrales: en ella estaban la figura de una esfera y un cilindro. Inmediatamente exclamé delante de los habitantes de Siracusa que me acompañaban: ¡Aquí está lo que yo busco! entonces se apresuraron a cortar las malezas y poner el emplazamiento al descubierto.
Terminado este trabajo nos acercamos a la tumba: Vimos allí la inscripción medio carcomida por el tiempo, Así que la más noble y en otro tiempo más instruída ciudad de Grecia, ignoraría el lugar del dsepulcro del más inteligente de sus ciudadanos, si un desconocido extranjero no hubiese ido allí para enseñárselo"


Acontinuación algunos cuadros que representan el momento en el que Cicerón descubre la tu,ba de Arquímedes tomados del blog TURISMO MATEMÁTICO








En TURISMO MATEMATICO se pueden encontrar maravillosas referencias de Arquímedes en la pintura y la escultura
Del mismo autor en Divulgamat


 

 


jueves, 25 de diciembre de 2014

Una calculadora científica on-line



La calculadora científica on-line que encontraréis aquí permite hacer muchas cosas:
introducir los datos desde el teclado,ver el historial de operaciones, resolver ecuaciones y dibujar gráficas, entre otras. Merece la pena echarle un vistazo. 

sábado, 25 de octubre de 2014

Stomachion de Arquímedes



Seguimos en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS  dedicándole entradas a Arquímedes


El stomachion ("dolor de estómago", en griego) es un puzzle que estudió Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.).
Es una descomposición del cuadrado en 14 piezas que tienen por área números enteros. Una especie de tangram. Un juguete muy fácil de construir, pero muy difícil de resolver. Un problema de combinatoria geométrica. Se piensa que Arquímedes desarrolló criterios sobre cómo debían acoplarse los lados y los ángulos de las piezas. 

Con las piezas del Stomachion se pueden construir figuras variadas. Incluso se pueden reordenar las piezas de modos diferenntes para recomponer el cuadrado original de otra manera.




En noviembre de 2003, Bill Cutler encontró que hay 536 maneras distintas de colocar las piezas para construir el cuadrado original. Las soluciones que son rotaciones o simetrías se cosideran equivalentes. Si no es así el número total de soluciones asciende a 17.152.

Para calcular el área de las figuras del stomachion, lo más sencillo es utilizar el TEOREMA DE PICK
que permite calcular fácilmente el área de polígonos dibujados en una cuadrícula.

Para saber más sobre el tema:








miércoles, 8 de octubre de 2014

Wikisaber



Lecciones de matemáticas de la ESO  interactivas, con animacione, test, repasos, .... Muy interesante.  (También hay materiales de infantil y primaria)

http://www.wikisaber.es/Contenidos/Contenidos.aspx


wikisaber es un portal educativo fundamentado en la enseñanza y el aprendizaje colaborativos. Creado por la fundación wikisaber e Intel, cuenta con la colaboración de instituciones de prestigio como London Grid for Learning, la Universidad de Salamanca, la Fundación Pastor de Estudios Clásicos o la Fundación Germán Sánchez Ruipérez. Gratuito y pensado para todos los cursos de enseñanza obligatoria, wikisaber quiere ser el marco para que padres y tutores, profesores y alumnos puedan compartir conocimiento y se comuniquen entre sí, además de aportarles recursos y contenidos de calidad.


En wikisaber creemos en un colegio implicado en la evolución, con capacidad de adaptación al entorno: un colegio 2.0. Por eso integramos en nuestro portal la tecnología que permite compartir conocimiento de manera fácil e inmediata: las herramientas de la web 2.0, con las que el usuario puede crear, editar y publicar contenidos. Una manera fácil de hacer que el conocimiento sea accesible para todos.

jueves, 2 de octubre de 2014

Lección 2. Matemáticas Financieras. (Matemáticas aplicadas a las CC. SS. I)



En una entrada anterior os puse material para el estudio de la Lección 1. (Aquí)

Ahora os ofrezco algunos materiales que os pueden ser útiles para preparar la Lección 2. Matemáticas Finacieras

1. Unidad 2. Matemáticas financieras (Curso del CIDEAD)

https://es.scribd.com/doc/241717184/Ud-02-pdf


(Puedes descargar el pdf y luego ejecutarlo desde tu ordenador) También puede ver el curso completo del CIDEAD en el Aula Virtual del IES "Cardenal Cisneros"

http://aulavirtual2.educa.madrid.org/course/view.php?id=18893

2. Solucionario de del libro de texto

https://es.scribd.com/doc/241718883/solucionarioUnidad2-1CCSS-pdf


3. Recursos para los cálculos financieros 

Visita esta entrada del Blog APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS


http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2010/11/matematicas-finanacieras.html

martes, 16 de septiembre de 2014

Arquímedes



"A Arquímedes se le recordará cuando el dramaturgo Esquilo haya sido olvidado. Los idiomas mueren, pero las ideas matemáticas permanecen."
G. H. Hardy
“Quien comprenda a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de hombres posteriores.”
G. W. LEIBNIZ
El objetivo que nos planteamos para este primer timestre es acercarnos, junto con los alumnos de 4º de la ESO, a la figura de ARQUÍMEDES y, a través de él, a algunas ideas matemáticas que nacieron de su pensamiento genial.

Intentaremos reconstruir algunos de sus razonamientos y de fabricar con nuestros medios algunos de sus inventos más notables.

Si somos capaces, prepararemos una exposición con todas nuestras investigaciones. Así podremos compartirlas con todo el mundo y aprender técnicas para comunicarnos mejor.

Para los interesados en la Ciencias Sociales, también de la mano de Arquimedes, nos acercaremos a la historia de su tiempo y analizaremos por qué se perdió su legado durante casi dos milenios.

Para empezar

1) Vamos a ver estos documentales










Película de cine mudo Cabiria fue dirigida por Giovanni Pastrone y estrenada en abril de 1914.

La ira de Arquímedes from arfraile on Vimeo.

The sand reckoner: Do not dirturb my circles




Lucio Russo hablando sobre Arquímedes



Posibilidades didácticas de Arquímedes y del número pi I from CRFP CLM on Vimeo.


y

2) leer este libro:

Arquimedes y la Palanca. En 90 minutos
Paul Strathern
Editorial Siglo XXI


A ver qué cosas nos suguieren hacer...






En una próxma entrada, a sugerencias vuestras, haremos una lista de preguntas y respuestas que nos ayuden a fijar ideas.






Agunos vídeos sugerentes sobre cosas que hizo Arquímedes

La WEB de ARQUIMEDES

EL JARDÍN DE ARQUÍMEDES

WEB SOBRE ARQUÍMEDES EL MATEMATICO

Tornillo de Arquimedes

Ley de la Palanca

Poleas y polipastos

La historia de PI

Experimento de Arquímedes = Cilindro = esfera  + cono

La copa de Arquímedes

La copa de Arquímedes. (Si te pasas lo pierdes todo)

La copa de Arquímedes (Ciencia divertida) 

Arquímedes y el área de la elipse

Método de Arquímedes de hallar el área de un segmento parabólico

Arquímedes demostración del área de una elipse 

El volumen de una esfera

Sólidos arquimedianos

Comferencia de Tom M Apostol (la primera parte esta dedicada a las ideas matematicas de Arquimedes)

Arco de segmento parabólico. Matemáticas visuales

La muerte de Arquimedes en el arte (divulgamat)

El experimento del fantasma atrapado en una botella

La cubatura y la cuadratura de la esfera  (divulgamat)

 Arquímedes en Turismo Matemático
 
La mejor idea de Arquímedes (Miguel de Guzmán)

Elipsógrafo de Arquímedes





lunes, 15 de septiembre de 2014

Matemáticas aplicacdas a las CC.SS. I (cidead)


Está puesto en el AULA VIRTUAL del IES "Cardenal Cisneros" el curso de Matemáticas aplicadas a las CC.SS. I  elaborado por el CIDEAD para las enseñanzas de bachillerato a distancia.

Accede al curso completo: aquí
(Puedes leer y descargarte los pdf )

Como muestra del curso a continuación puedes ver la Unidad 1 

Unidad 1. Números Reales.
Matemáticas aplicacdas a las CC.SS. I
Material elaborado por el CIDEAD (Ministreio de Educación y Ciencia)

Debes descargarte el fichero pdf, usando la opción Download y abrirlo usando el visor de tu ordenador.





SOLUCIONARIO Unidad 1


 Por si os sirve de ayuda al estudio os facilito el solucionario de la Unidad 1

Las Matemáticas se aprenden haciendo problemas

martes, 26 de agosto de 2014

Caos. Una aventura mátemática



Con los vídeos y las explicaciones de esta web se puede aprender mucho sobre las matemáticas de los Sistemas Dinámicos. Una maravilla de la animación para comprender mejor las matmáticas del movimiento. 


CAOS es una película matemática dirigida a todo público, que consta de nueve capítulos con una duración de trece minutos cada uno. Trata de sistemas dinámicos, del efecto mariposa y de la teoría del caos. Al igual que DIMENSIONS, la película es difundida bajo la licencia Creative Commons y fue realizada por Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez. CAOS está disponible en una amplia gama de idiomas y de subtítulos.


Son NUEVE capítulos. Este es el primero:



martes, 29 de julio de 2014

SCRATCH Imagina - Programa- Comparte



 Scratch puede convertirsde en una buenísima herramienta para aprender y enseñar Matemáticas

Con Scratch puedes programar tus propias historias interactivas, juegos y animaciones — y compartir tus creaciones con otros en la comunidad en línea.

Scratch ayuda a los jóvenes a aprender a pensar creativamente, razonar sistemáticamente, y trabajar colaborativamente — habilidades esenciales para la vida en el siglo XXI.

Scratch es un proyecto del Grupo Lifelong Kindergarten del Laboratorio de Medios del MIT. Se ofrece de forma gratuita.




Para saber más puedes visitar la página WEB



Aquí tienes un vídeo explicarivo



Como ejemplo Mira esta aplicación: La canción de PI

http://scratch.mit.edu/projects/24183930/?fromexplore=true


Para aprender más sobre SCRATCH

  • Curso de SCRATCH del Prof Miguel Mejía
http://miguelmejiac.wordpress.com/curso-de-scratch/


El Gobierno de Navarra ha incluido en el currículo de Primaria el Scratch
http://www.europapress.es/navarra/noticia-gobierno-navarra-upna-convocan-curso-programacion-software-profesorado-20140804152524.html

domingo, 20 de julio de 2014

Si quieres saber algo, búscalo en Pi. En Pi está todo


Resulta muy emocionante pensar que dentro del número PI está todo, sólo hay que saber burcarlo.

Todos sabemos, desde el colegio, que Pi es un número con muchas cifras decimales sin periodos (pi es un número irracional). Muchos mátemáticos, desde Arquímedes, se han preocupado de hallar cada vez más decimales del número pi. Hoy en día, gracias a los ordenadores, ya se pueden conocer millones y millones de cifras del número pi.

Cabría pensar que si el número pi es una cadena muy muy larga de números que aparentemente no siguen ningún patrón, aparecerán en él, tarde o temprano, cualquier subcadena de númreos. Por ejemplo, me puedo preguntar ¿mi fecha de cumpleaños, o mi número de móvil estarán dentro del número Pi?. Incluso, ¿podríamos aventurar que si buscamos una codificación de El Quijote completo (ver entrada anterior) la acabaríamos encontrando dentro del número Pi?

El resultado que afirma que dentro del número Pi se puede enconrar cualquier subcadena, aún no está demostrado. Pero parece bastante plausible.

Aunque el resutado no esté probado matemáticamente, sí que hay una aplicación informática en la web que permite encotrar cadenas de números dentro de la expresión decimal del número pi.

Por ejemplo, mi edad que es ahora 55 años aparece por primera vez a partir del dígito 130º.

En esta dirección web puedes buscar cadenas de números dentro de las cifras del número PI.
También encontrarás interesantes informaciones sobre el número PI.



Propuesta pedagógica

Investigar la fecuencia relativa de las 10 cifras en la expresión decimal del número Pi. ¿Puede considerarse que se distrubuyen de manera aleatoria?

El saber no ocupa lugar : Toda la Biblioteca Nacional cabe en un punto


Cada una de las letras mayúsculas y minúsculas, los espacios en blanco y los sígnos de puntuación los podemos identificas fácilmente con un número de tres cifras mediante un código (por ejemplo el código ASCII que usan los ordenadores). De este modo, cualquier libro, como El Quijote, podría reducirse a una lista muy larga, pero finita, de números.  Incluso las ilustraciones las podemos identificar también con una serie de números como hacen las fotografías digitales.

Ahora nos podemos imaginar que, no sólo un libro, sino todos los libros de la Biblioteca Nacional, unos detrás de otros, forman una cadena muy larga de números. Aún podríamos imaginar que añadimos a nuestra cadena de números todos los libros que se han escrito en todo el mundo desde que se inventó la imprenta.

Si consideramos el número real del intervalo [0, 1] cuya expresión decimal es un cero, una coma, y después la serie de números que representa todos los libros de la Humanidad, tendríamos identificado un solo punto del segmento unidad.

Así pues, toda la información contenida en todos los libros de la Biblioteca Nacional cabe en un sólo punto (sin largo, ni ancho, ni alto). En efecto, "EL SABER NO OCUPA LUGAR"


Un ejemplo de problema de matemáticas laboriosas


Uno de los peligros que tiene enseñar matemáticas, sólo para preparar exámenes, es que se rehuyen los cálculos laboriosos.  La capacidad  de las matemáticas para modelizar situaciones concretas es la base de su aplicación práctica a la tecnología. Sería bueno presentar a los alumnos de secundaria algunos ejemplos de este tipo de situaciones. 

 El diseño de un puente


Para formar el arco inferior de un puente, como el de la figura, que une las dos orillas de un río, se elige una parábola. Se dan las posiciones de arranque del arco en ambas orillas, la altura de paso en medio del río y la altura de la calzada sobre el apoyo izquierdo. Hallar las longitudes de las barras verticales.

 Solución 

La ecuación ajustada de la parábola es:  y = 0,22264 x - 0,0022929 x^2

El vértice de la parábola es el punto (48,550, 5,405)

Las longitudes de las vigas verticales son:

5.003 m
3,464 m
2,385 m
1,763 m
1,600 m
1,896 m
2,650, m
3,864 m
5,347 m
7,665 m
10,254 m
13,301 m

Resulta interesante ayudarse de una hoja de cálculo.


[Fuente: Matemáticas para ingenieros. Bauch, Dreyer, Haacke. Ed Urmo 1970. Es trsducción de un libro alemán]

viernes, 18 de julio de 2014

La aventura del saber (Rtve). El espacio de Matemáticas de Guadalupe Catellano


Dentro del programa LA AVENTURA DEL SABER de Rtve hay un espacio dedicado a las Matemáticas en las que la profesora Guadalupe Catellano acerca las ideas matemáticas.

En eel canal de Youtube del programa puedes ver los vídeos.


Dibujar una elipse doblando papel (Dibujar curvas usando rectas)


Iniciamos con esta entrada una serie que podemos titular: Dibujando curvas a base de rectas.

En este caso, vamos a dibujar una elipse como la envolvente de una serie de rectas que obtenemos doblando papel.



Procedimiento

En un circulo de papel señalamos un punto interior, P. Doblando el papel, marcamos diferentes cuerdas de la circunferencia de modo que al doblar el papel por la cuerda resulte que la circunferencia pase por el punto interior P. (Ver vídeo).

La envolvente de todas las cuerdas es una elipse que tiene por focos el punto interior P y el centro de la circunferencia, C.

Justificación

Para la justificación del procedimiento hay que recordar:

Definición de elipse como lugar geométrico
Una elipse es el lugar geomérico de los puntos tales que la suma de las distancias a los dos focos es una coanstante

d(X, F1) + d(X, F2) = k (cte)

Propiedad de reflexión 
 Los radios vectores de un punto de la elipse forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en ese punto




 La circunferencia que tiene por centro uno de los focos de la circunferencia y de radio la connstante, 2a,  de la elipse,  recibe el nombre de CIRCUNFERENCA FOCAL.

El resultao que acabamos de demostrar sirve para dar otra definición de la elipse como lugar geométrico:

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la uma de distancias a un punto (uno de los focos) y a una circunferencia (circunferencia focal con centro en el otro foco) es una constante.

Aplicación didáctica

Esta construcción puede ser el origen de la construcción de importantes resultados.

1º X es un punto de la elipse que tiene por centros P y C
2º La cuerda m es la tangente a la elipse en el punto X
3º Propiedad de reflexión de la elipse. La tangente es la bisectriz exterior de los radios vectores.

En estos apuntes manuscritos se puede ver el desarrrollo formal



 Para ampliar


[Fuente: Matemáticas 2º de BUP. Guzmán y Colera. Ed. Anaya]

martes, 15 de julio de 2014

viernes, 11 de julio de 2014

Geometría



[Detalle del cuadro "La escuela de Atenas" de Rafael. Representa Euclides enseñando Geometría]


"A la edad de doce años, quedé sorprendido con un trabajito que desarrollaba la geometría plana euclidiana, que cayó en mis manos al comienzo de un año escolar. Había allí afirmaciones, como por ejemplo, que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto, lo cual –aunque no parecía evidente– no obstante podría probarse con tal certidumbre que no había duda alguna sobre esa cuestión. Esta lucidez y certeza me impresionó indescriptiblemente"
Albert Einstein


El valor de la Geometría

En los últimos tiempos ha habido un abandono de la enseñanza elemental de la geometría clásica (recuérdese el grito de ¡Abajo Euclides! de Bourbaki). No obstante, hoy, como siempre, la Geometría sigue siendo el paradigma de las Matemáticas.

Decía Alexandrov en el VII Congreso Internacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas. 1992:
«La Geometría euclídea elemental ocupa una posición específica entre otras ramas de las Matemáticas y entre otras disciplinas, debido a su carácter único, consistente en la unión entre lógica, imaginación y práctíca.» 
ALEXANDROV
La Geometría clásica tiene un papel muy importante que jugar en la enseñanza elemental de las Matemáticas. Y es que la Geometría no sólo es interesente por el qué, sino también por el cómo. Así lo recogen Davis y Hersch en su libro “Experiencia matemática”:
«En la enseñanza de la Geometría elemental no se destacan sólamente los aspectos visuales o espaciales sino también su metodología, en la cual es la hipótesis la que lleva a la conclusión.»
J. DAVIS & R. HERSCH
El principal valor de la Geometría es, pues, que es una materia en la que se demuestran las proposiciones. Y, además, no sólamente se demuestran las obviedades, sino que en muchas ocasiones se llega a la sorpresa incluso al éxtasis, por la belleza y elegancia de las demostraciones.

Por lo que acabamos de decir, si queremos utilizar la demostración en Geometría de una manera formativa, creativa y estética, es necesario estructurar con cierta coherencia los resultados básicos.

A la didáctica de la Geometría, avanzando por la senda marcada por Euclides y Tolomeo, han dedicado sus esfuerzos grandes matemáticos. Y, por suerte, existen grandes textos (algunos olvidados) que son espléndidas guías para el estudio.

En la organización formal de las cuestiones de la Geometría clásica yo distinguiría dos niveles que no deberían interferirse demasiado: un primer nivel de fundamentación axiomática más profundo y técnico, y otro segundo nivel, más didáctico y práctico, en el que se recogen las proposiciones que forman las herramientas básicas necesarias para entender y construir más allá de lo meramente trivial.

En lo que se refiere al primer nivel —el de la fundamentación axiomática— existen en la actualidad, siguiendo el esquema marcado por Moise en su libro Elemetary Geometry from an advanced standpoínt, dos grandes líneas: el enfoque sintético y el enfoque métrico.

*Enfoque sintético: Axiomática de D. Hilbert (1902). Erlanger Programm, F. Klein (1872).
* Enfoque métrico: Axiomática de G. D. Birkhoff (1932).

Pero este no es el tema que nos ocupa ahora.

Propuesta didáctica

Desde un punto de vista didáctico hay que atenerse a lo que indica G. Choquet en su artículo "Sobre la enseñanza de la Geometría elemental":
«Parece evidente que si no se quiere dar al alumno la impresión de que las Matemáticas son un juego estéril, donde se comienza por admitir en primer lugar complicadas  propiedades para deducir después de ellas otras sencillas, es necesario que los axiomas tengan enunciados simples que no utilicen sino conceptos a los que el alumno ya está  habituado, que sean transportables a la experiencia sensible y que, además, sean   eficaces, es decir, permitan establecer rápidamente propiedades sustanciales.»
CHOQUET

Desde el punto de vista didáctico, de lo que se trata es de fijar una base simple, pero firme y segura, de proposiciones claras con las que construir rápidamente resultados no triviales, con interés y belleza.

A mi juicio, el desarrollo a seguir en la enseñanza de la Geometría sintética sería, a grandes rasgos, el siguiente:

1) Partiendo de las herramientas básicas: la regla y el compás, considerar dos elementos fundamentales: los segmentos, las circunferencias y los ángulos. Estalecer el papel básico que tienen en la construccuión de figuras las rectas y los círculos (la regla y el compás)
2) Los segmentos y los ángulos, se pueden comparar y sumar y, por tanto, medir, usando la regla y el compás.
3) Introducir los conceptos de paralelismo y perpendicularidad. Postular la existencia de paralelas y perpendiculares por un punto exterior a una recta. Basarse para ello en métodos constructivos.
4) Establecer los criterios de igualdad de triángulos a partir de la univocidad de su construcción usando la regla y el compás.
5) Demostrar las proposiciones básicas agrupadas por criterios de igualdad de ángulos, segmentos, y los criterios de paralelismo y perpendicularidad. Estas proposiciones son las que nos van a servir para determinar las relaciones entre los elementos de una figura.
6) Exponer algunas técnicas básicas utilizadas para determinar puntos o definir propiedades, como la de los lugares geométricos.
7) Exponer, con ejemplos, los diferentes métodos uutilizados en la resolución de problemas.

Enm todo momento, el aprendizaje debe ser activo mediante la resolución de problemas y la construcción de casos concretos. 

A continuación se relacionan las proposiciones básicas que constituirán nuestra caja de herramientas para las demostraciones. Las enunciaremos agrupadas por criterios.

Caja de herramientas 

Criterios de igualdad de triángulos

LAL: Dos triángulos son iguales si tiene respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido.

ALA: Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales un lado y los dos águlos adyacentes.
LLL: Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus tres lados.

Los criterios de igualdad de triángulos resultan muy intuitivos, ya que dados los datos
que se citan en el criterio se construye de manera unívoca un triángulo que, por tanto,
queda perfectamente definido.

Criterios de igualdad de ángulos

* Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
* Cuando se cortan dos paralelas por una transversal se forman ocho ángulos, cuatro agudos iguales y cuatro obtusos iguales.
* Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces son iguales o suplementarios.
* Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces son iguales o suplementarios.
* Los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales. El lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento bajo un ángulo dado es el arco capaz.
* Los ángulos agudos que tienen la misma razón trigonométrica son iguales.
* Los ángulos adyacentes de un triángulo isósceles son iguales.
* Los ángulos que son transformados por una isometría son iguales.

Criterios de igualdad de segmentos

* Los segmentos paralelos comprendidos entre paralelas son iguales.
* Son iguales los radios de una misma circunferencia.
* Los lados adyacentes de un triángulo isógono son iguales.
* Las tangentes desde un punto a una circunferencia determinan segmentos iguales.
* Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
* Los segmentos que son transformados por una isometría son iguales.
* La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados.
*La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos.

Criterios de paralelismo

* Dos rectas son paralelas si forman ángulos iguales con una transversal.
* Dos rectas son paralelas si dos puntos de una de ellas están a la misma distancia de la otra.
* Dos rectas son paralelas si al ser cortadas por unas transversales los segmentos que éstas determina son proporcionales (Teorema de Thales).

Criterios de perpendicularidad

* Un ángulo es recto si está inscrito en una semi-circunferencia.
* En una circunferencia, la mediatriz de la cuerda es un diámetro.
* La tangente a una circunferencia y el radio en el punto de tangencia son perpendiculares.
* La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos.
* Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
* Un triángulo es rectángulo si verifica el teorema de Pitágoras.

Teoremas importantes

Teorema de las antiparalelas. La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible en una circunferencia es que los ángulos opuestos sean suplementarios.

Consecuencia. Los trapecios isósceles son inscribibles en una circunferencia.
(Las rectas que son lados opuestos de cuadriláteros inscriptibles se llaman antiparalelas).

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Thales. Si en un triángulo ABC se traza una paralela MN al lado BC, resulta que los triángulo AMN y ABC son semejantes.

Teorema de la bisectriz. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos que son proporcionales a los lados del ángulo.

Criterios de semejanza de triángulos

AA: Dos triángulos son semejantes si tiene respectivamente iguales dos de sus ángulos (y, por lo tanto, los tres).
LLL: Dos triángulos son semejantes si tiene los lados respectivamente proporcionales.
LAL: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido.

(Continuará)

Un trisector de ángulos. Otro más. Un desafío: justificarlo!!!


En las dos entradas anteriores

hemos presentado dos formas distintas de efectuar la trisección de un ángulo dado, utilizando diversos instrumentos. En unos vídeos se hacen las demostraciones que justifican cada uno de los métodos.

En esta entrada os presentamos el diseño de otro trisector de ángulos. Otro más. Aparece en el Tomo I (pág. 83) del libro " Geometría Métrica" de Pedro Puig Adam.

El desafío que os proponemos es construiros uno y buscar la demostración del procedimiento. Con las pautas que aparecen en las dos entradas anteriores no resulta muy difícil . ¡Ámimo!!

jueves, 10 de julio de 2014

Trisección de un ángulo utilizando un instrumento de cartulina


En una entrada anterior  de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS vimos cómo se podía efectuar la   

En esta entrada veremos otra forma de efectuar la trisección de un ángulo. En este caso utilizando un instrumento hecho con cartulina. 



triseccion con instrumento de cartulina from angel on Vimeo.




El desafio que os proponemos es buscar otras demostraciones diferentes. Hay muchas posibilidades.

Otra posible demostracion, diferente a la que aparece en el vídeo, es la que ponemos en la imagen de la derecha

Esta demostración es más directa que la que se ve en el vídeo,  pues se basa en los criterios de igualdad de triángulos.






Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS
Otro trisector de ángulos en esta entrada:
Por si te quieres imprimir un trisector de ángulos 

lunes, 7 de julio de 2014

Dos libros clásicos para aprender geometría que están en la web

En esta entrada vamos a presentar dos auténticos clásicos para estudiar la Geometria. Libros imprescindibles. Ambos volúmenes se pueden encontrar escaneados en la web. A continuación tenéis los enlaces.

Después podéis consultar un trabajo sobre didáctica de la Geometría clásica ya publicado en este blog y un comentario que he escrito sobre el libro de FGM. Y después para ampliar algunos trabajos de Miguel Guzmán sobre GEOMETRÍA.






F.G.-M. 
Exercises de Geometrie


Ver aquí



Este libro tiene una reimpresión muy asequible aquí:

Antoine Dalle
2000 theoremes et problemes de geometrie avec solutions

Ver aquí



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En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS


Comentario sobre el F.G.-M. 

Cada vez valoro más los libros como objetos. Eso sí unos objetos que tienen mucho contenido, mucha vida y mucho significado emocional. Por eso, cada vez más lo que más me gusta de los libros es poseerlos.

El F.G.-M es uno de los libros más queridos y valorados de mi biblioteca personal. Conseguirlo me costó muchos años de búsqueda por librerias de saldo.

Miguel Guzmán en su libro "La experiencia de descubrir en Geometría (2002)" explica cómo gracias a este
libro se despertó en él su amor a la Geometría y a las Matemáticas. Estas son sus palabras:

"Yo debía tener 13 o 14 años. [...] Através de ellos [mis hermanos], llegué a tener acceso a los principales textos de geometría que entonces se usaban. [...] Los que más me atrajeron fueron el Rouché-Comberuse y la impresionante colección de ejercicios de geometría de F.G.-M., texto al que coloquialmente se le llamaba el FGM.
[...] Los problems del FGM me servían de ocupación salteada en los muchos ratos de un ocio que recuerdo lleno de paz y de satizfacción en medio del siilencio de una clase solitaria en tardes de vacación: Iba tratando por mi cuenta de resolver aquellos problemas  y cuando después de ocuparme en alguno un rato bastante largo no lograba dar con la respuesta  acudía al libro en que se ofrecía la solución y una abundante información sobre los teoremas y  problemas relacionados de más envergadura.
De vez en cuando el FGM ofrecía, en sus nortas informativas, resultados interesantes sin proporcionar pistas . Esto espoleaba mi interés." 
Este libro corresponde a un florecimiento del estudio de la geometría clásica que se produjo a finales del siglo XIX y las primeras décadas del XX, En aquellos años aparecieron temas nuevos de investigación  como "La gometría del triángulo" y otros resultados antiguos se reformularon utuilizando conceptos tomados de la geometría proyectiva. Muchos matemáticos destacados, como Hadamard, escribieron en aquella época textos de geometría sintética.( Ver aquí el texto de Hadamard  y aquí las soluciones de los problemas)

El libro de FGM es una autética enciclopedia que incluye referencias históricas y amplísimos índices.

La primera parte del libro está destinada a presentar con abundantes ejemplos los métodos principales usados en geometría:

- Métodos generales.
- Lugares geométricos.
- Empleo de figuras auxiliares.
- Trasformaciones de figuras.
- Discinsión y extensión.
- Método algebrico.
. Máximos y mínimos.

Después hay una segunda parte muy voluminosa de ejercicios resueltos organizada en ocho libros. Cada uno de los libros se divide, a su vez, en dos partes, Teoremas y Problemas

Una tercera parte (breve) está destida a resolver problemas numéricos.

Una cuarta parte estádestinada a la "geometría del triángulo"

Para terminar hay más de cuarenta páginas de notas, índices y referencias para localizar la información en el texto.

¿Quién es el autor F.G.-M?

 F.G.-M. son las iniciales de Frère Gabriel Marie. Este era el nombre del superior general de los Hermanos de la Doctrina Cristiana (Hermanos de La Salle).  Era costumbre que todas las obras editadas por los Hermanos de la Salle estuviesen firnmadas por FGM. Para más información sobre FGM  AQUÍ
Esto era corriente en las órdenes religiosas de la enseñanza francesas. por ejemplo, Los libros de los Hermanos Maristas tenían por autor FTD (Frere Theophane Duran) 

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Para ampliar:


GEOMETRÍA en Miguel Guzmán:

http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/educacion/geometria


Para los interesados en la didáctica de la geometría clásica os invito a visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

viernes, 4 de julio de 2014

"Aprender, enseñar y aprender a enseñar". Un artículo de George Polya

En esta entrada vamos a presentar y resumir  un clásico artículo de George Polya
On Learning, Teaching, and Learning Teaching
George Polya, Standford University
The American Mathematical Monthly, Vol. 70, No. 6 (Jun.-Jul. 1963) 605-619

Decía Pedro Puig Adam, “ ¡Dichoso quien puede meditar de veras en el torbellino en el que vivimos!”, siempre es un buen momento para releer a los clásicos.

George Polya es el impulsor de la idea de que la enseñanza de las matemáticas debería basarse en la resolución de problemas (Problem solving). Esta idea pedagógica es lo que ahora se conoce con las siglas PBL (Problem based learning) y está en consonancia con el concepto moderno de competencia matemática..

Los trabajos de Polya ya han estado presentes en más lugares de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS

A continuación ofrecemos el artículo íntegro (en inglés) y un resumen del msmo.



Acerca de aprender, enseñar y aprender a enseñar, de G. Polya (Resumen)


“Aquello a lo que te has visto obligado a descubrir por ti mismo deja un camino en tu mente que puedes utilizar de nuevo cuando te surja la necesidad” (G. C. Lichtenberg: Aphorismos)
“El conocimiento humano comienza con intuiciones, y de ahí surgen los conceptos" (E.  Kant) 
“Yo escribo para que el estudiante pueda ver el fundamento de las cosas que aprende, e incluso vea el origen de la cuestión, de modo que el estudiante pueda comprenderlo todo y ser capaz de inventarlo por sí mismo.” (G.W. Leibnitz: Mathematische Schriften)

1.- La enseñanza  no es una ciencia.

- La psicología del aprendizaje puede darnos pistas interesantes, pero no tiene la panacea para enseñar a resolver problemas

2.- El objetivo de la enseñanza

- El objetivo fundamental de la enseñanza es enseñar a PENSAR.
Enseñar a pensar en matemáticas significa que el profesor no debe transmitir meramente información, sino que debe intentar, también, desarrollar en los alumnos la habilidad de para utilizar la información: debe enseñar: “saber-cómo", acttudes útiles y hábitos mentales.

- "Pensar" significa: 1) habilidades para resolver problemas y 2) capacidad de conjeturar y razonar de manera informal.

3.. Enseñar es un arte

- Enseñar es a un arte que tiene semejanzas con el teatro, la música y la poesía.

4.- Tres principios del aprendizaje

- La enseñanza es un conjunto de pequeños trucos. Todo buen profesor es diferente de otro buen profesor.

Los principios de aprendizaje deben tomarse también como principios de la enseñanza.

- Los tres principios del aprendizaje son:

1) Aprendizaje activo.

- La mejor manera de aprender algo es descubrirla por ti mismo. Este es el principio del método socrático.

2) Principio de la mejor motivación

-Hay motivaciones extrínsecas y motivaciones intrínsecas. Estas son las mejores. Para un aprendizaje efectivo el estudiante debe interesarse en aquello que aprende y encontrar placer en las actividades de aprendizaje. También puede haber otras motivaciones, como evitar un castigo, pero estas no son deseables.

3) Seguir las fases consecutivas.

- El conocimiento comienza con la acción y la percepción, De ahí surgen las palabras y los conceptos y, por último, deberían surgir los hábitos mentales.

- Las tres fases son: 1) Exploración. 2) Formalización. 3) Asimilación

5.- Las tres principios de la enseñanza

Son los mismos que el aprendizaje, pero vistos desde otro punto de vista

1) Aprendizaje activo

- El profesor debe estimular a que los alumnos aprendan por sí mismos.

2) La mejor motivación.

El profesor debe ser un vendedor del conocimiento. Puede usar algunos trucos para despertar la motivación de los alumnos, como plantear paradojas o retos, proponer que el alumno conjeture.

3) Fases consecutivas.

- El profesor no puede saltarse las fases previas. 

6.- Ejemplos

- Se proponen algunos ejemplos de cómo proponer un problema a los alumnos y guiar su solución
Los problemas que se proponen son. a) Calcular la distancia entre dos ciudades, b) Construir un tretraedro conocidas sus seis aristas 

7.- Aprender a enseñar

La formación de profesores debe fundamentarse en estos aspectos

1) Materia de estudio:

- La materia que debe conocer un profesor es: a) Información y b) Saber –cómo
En matemáticas saber-cómo significa: la habilidad para resolver problemas, la capacidad para criticar argumentos, la capacidad para usar con fluidez el lenguaje matemático, y la capacidad para ver aspectos matemáticos en situaciones concretas.

- Sugiere como medio para la formación de profesores de matemáticas de seminarios de resolución de problemas.

2) Métodos

- La formación de un buen profesor debería incluir métodos de enseñanza para desarrollar los currículos que debería estar conectados con el estudio de las materias y la práctica docente de profesores experimentados

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Bibliografía de G. Polya en castellano
  • Cómo plantear y resolver problemas / How to solve it. Editorial Trillas
  • Matemáticas y razonamiento plausible.Editorial Tecnos
  • Métodos matemáticos de la ciencia. Editorial Euler


martes, 1 de julio de 2014

Demostraciones sin palabras: "La media geométrica de dos números es menor o igual que la media aritmética"



Teorema: 

La media geométrica de dos números positivos siempre es menor o igual que la media aritmética. Sólo es igual cuando ambos números son iguales.



Recordar el Teorema de la altura: aquí

Recordar:
- Los triángulos inscritos en una semicircunferencia son rectángulos.
- La altura de un triángulo rectángulo es la media geométrica de las ptoyecciones de los catetos (teorema de la altura)

Problemas para pensar en vacaciones1



(Nivel elemental)

La hucha

Mi abuela es muy ahorradora. Tiene dos huchas: una blanca y otra rosa. Cada vez que mete 2 euros en la hucha blanca, mete 5 euros en la hucha rosa. Cuando abrió la hucha blanca tenía 300 euros. ¿Cuánto tendrá la hucha rosa?





(Nivel intermedio)

Las siguientes escaleras de 3 y 4 pisos  están formadas por  6 y 10 ladrillos respectivamente. ¿Cuántos ladrillos utilizará una escalera de 6 pisos? , ¿y de 10 pisos?,  ¿y de 50 pisos? ... ¿y de n pisos?


(Nivel avanzado)

Este un ejercio abierto para investigar y matematizar

Haz estas operaciones con la calculadora:


9 * 6 =                                  6 * 9 =
9 * 66 =                                6 * 99 =
9 * 666 =                              6 * 999 =
9 * 6666 =                            6 * 9999 =

Observa que el resultado es el mismo cuando mueltiplicamos 6 por un número formado n nueves que cuando multiplicamos 9 por un número formado por n seises. Además, observamos que todos los resultados de los productos comienzan por 5 y terminan en 4.

Justificar estas afirmaciones

¿Se puede generalizar a otros números distintos de 6 y de 9?

[Fuentes: " 100 problemas matemáticos" de Germán Bernabeu Soria y "Uso de la calculadora en el aula" de Ángel Álvarez Álvarez]


martes, 8 de abril de 2014

Lecciones activas de matemáticas: "Vectores en el plano"


Comezamos --con esta-- una serie de materiales destinados a los alumnos de Secundaria. Pretendemos que sean prácticos y sirvan para cubrir los contenidos de los programas oficiales.

La idea de estas "lecciones activas" es ofrecer unos cuadernos de actividades para que los alumnos puedan estudiar de manera casi autónoma o, mejor, en pequeños grupos de trabajo cooperativo, con la ayuda de un monitor y unas explicaciones generales del profesor.

La metodología empleada es la del prendizaje activo basado en la resolución de problemas.

Se agradecen sugerencias para mejorra estos materiales. 

viernes, 14 de marzo de 2014

sábado, 22 de febrero de 2014

Demostrar los teorema del seno y del coseno


"Saber y saberlo demostrar, es saber dos veces"
Baltasar Gracián


Ya hemos dedicado varias entradas en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS para subrayar lo importante que son las demostraciones en la formación matemática. Ver los enlaces al final de esta entrada.

De manera provisional pongo aquí unos vídeos de escasa calidad con las demostración de los teoremas del seno y del coseno. Estos vídeos los grabé para mis alumnos del curso pasado. Hoy las coloco aquí para animar a mis alumnos de este curso a mejorarlos. 

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO




DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO




Aprovecho la ocasión para recomendar encarecidamente, que para aprender un teorema de geometría no se memoricen las fórmulas usando letras. Las letras pueden variar de un problema a otro. Es mucho mejor memorizar (y entender) el significado.

Teorema del seno 

  • Vale para cualquier triángulo. 
  • Establece una relación entre los lados de un triángulo y los senos de sus ángulos opuestos.
  • Está indicado cuando se conoce un lado y su águlo opuesto (caso ALA).
"En un triángulo cualquier, la razón entre los lados y el seno de su ángulo opuesto es constante."

Teorema del coseno

  •  Vale para cualquier triángulo. 
  • Permite calcular un lado conocidos los otros dos y el ángulo opuesto. O visto de otra manera, permite calcular el ángulo conocidos los lados del triángulo.
  • Está indicado cuando se conocen los tres lados (caso LLL) y cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido (caso LAL).
"El cuadrado de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo opuesto."









En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS: