jueves, 24 de enero de 2013

Demostración de los teoremas métricos del triángulo rectágulo (Teorema de la altura, teorema del cateto y teorema de Pitágoras)


Uno de los déficits de nuestros currículos de Matemáticas es que, lamentablemente, se huye de las demostraciones. Los profesores y los alumnos estamos muy presionados por la premura de cumplir los programas, y la masificación en las aulas no es que ayude mucho a entablar una relación intensa de los alumnos con las matemáticas. Nos obsesiona preparar a los alumnos para que sean capaces de superar, como sea, unos exámenes de lápiz y papel que se hacen en una hora. Los alumnos se obsesionan por estudiar de memorieta para los exámenes, empollando sin sentido. Así abandonan lo que es esencial en su formación: la laboriosidad perseverante, la reflexión tranquila, la investigación curiosa y la comunicación activa.

Los temas de geometría se prestan muy bien para mostrar a los alumnos, de una manera tangible, en qué consiste demostrar un teorema y resolver un auténtico problema, los dos aspectos que son la esencia del pensamiento matemático. Los temas de geometría son una oportunidad que no podemos desaprovechar para enseñar las más matemáticas más bellas y estimulantes. (Ver:  Didáctica de la geometría clásica) Es por esto por lo que he preparado una demostración apoyándose en figuras hechas con papel. Aquí está el vídeo.

Aplicación didáctica 

Ya sé que el vídeo se distingue mal. Espero comprarme una webcam un poco mejor en breve. Pero tampoco me importa mucho. El objetivo es que los alumnos cojan la idea y luego la repitan por sí mismos completando los detalles. El tener que hacer algo manipulativo obliga a los alumnos a no caer en la tentación de estudiarse las demostraciones de "memorieta" y  es una ayuda para hacer más evidentes las razones lógicas. Es el viejo truco de la didáctica: "recurrir a la acción"

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS:

Más demostraciones manipulativas del teorema de Pitágortas:





martes, 8 de enero de 2013

Desafío matemático 3. El problema del matemático borrachín



Este problema está adaptado de uno que aparece en el excelennte libro de problemas de matemáticas: "El país de las mates. 100 problemas de ingenio", de Miquel Capó Dolz.

PRIMERA PARTE ¿Cuánto hay que pagar por media copa?

Un matemático borrchín entra en un bar de copas y le pregunta al camarero:

-- ¿Cuánto cuesta una copa?
-- 8 euros, señor.
-- No dispongo de ese dinero. Así que lléname la copa sólo hasta la mitad.

El camarero muy diligente le llenó la copa (que tenía forma de cono) hasta la mitad de la altura.
El matemático borrachín se la bebió de un trago. Y se dirigió al camerero.
-- ¿Cuánto te debo?
-- Si una copa son 8 euros, y yo le he servido media copa, entonces me debe 4 euros.
-- De ninguna manera. Eso no es lo justo. Yo te pagaré sólamente lo que me corresponde en función de lo que me he bebido.

¿Puedes ayudar al matemático borrachín a explicarle al camarero cuál es la cantidad que debe pagar?



SEGUNDA PARTE ¿Cuánto hay que llenar pora tomar media copa?

Una situación muy parecida a la anterior. En esta ocasión el matemático borrachín vuelve a entrar en el bar y enseñádole 4 euros al camarero le dice.

-- Hoy puedo pagarme media copa. Dispongo de 4 euros. Así que llename la copa.
-- Vaya lío. Espere que voy a por una calculadora y una regla.

¿Podrías decirle al camarero qué proporción de la altura total de la copa debe llenar para que el matemático borrachín quede satisfecho?




lunes, 7 de enero de 2013

Desafío matemático 2. Justificar un truco de cálculo mental


Seguimos con los desafíos matemáticos que consisten en hacer demostraciones. El desafío es demostrar el siguiente truco para elevar al cuadrado un número acabado en "5".

Cogemos el número formado por las primeras cifras, las que van delante del "5". Lo multiplicamos por su siguiente. Al resultado le colocamos detrás un "25".

Ejemplos:

25 · 25 = 625     (2 · 3 = 6)
35 · 35 = 1225   (3 · 4 = 12)
45 · 45 = 2025   (4 · 5 = 20)
55 · 55 = 3025   (5 · 6 =30)
65 · 65 = 4225   (6 · 7 = 42)
75 · 75 = 5625   (7 · 8 = 56)
85 · 85 = 7225   (8 · 9 =72)
95 · 95 = 9025    (9 · 10 = 90)
115 · 115 = 13225   (11 ·12 = 132)


PISTA. Un número  acabado en 5, se puede escribir de la forma   N = 10 · D + 5
Donde D es el número entero de decenas.