Noticias de Matemáticas

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lunes, 24 de agosto de 2015

La historia de los monos y las bananas

Fuente de la imagen: http://www.taringa.net/posts/offtopic/16047636/Aprende-que-es-y-como-nace-un-paradigma.html


Leyendo el libro de Adrian Paenza, "Matemáticas estás ahí" me he encontrado con esta historia muy sugerente para iniciar una reflexión de por qué hacemos las cosas tal cómo las hacemos.
Disdfrutad de esta historia!!!

Sobre la conducta de los monos

Por Adrián Paenza

Suponga que uno tiene seis monos en una pieza. Del cielo raso, cuelga un “cacho” de bananas. Justo debajo de él hay una escalera (como la de un pintor o un carpintero). No hace falta que pase mucho tiempo para que uno de los monos suba las escaleras hacia las bananas.

Y ahí comienza el experimento: en el mismo momento en que toca la escalera, todos los monos son rociados con agua helada. Naturalmente, eso detiene al mono.

Luego de un rato, o bien el mismo mono o alguno de los otros hace otro intento con el mismo resultado: todos los monos son rociados con el agua helada a poco que uno de ellos toque la escalera. Cuando este proceso se repite un par de veces más, los monos ya están advertidos. No bien alguno de ellos quiere intentarlo, los otros tratan de evitarlo, y terminan a los golpes si es necesario.

Una vez que llegamos a este estadío, retiramos uno de los monos de la pieza, y lo sustituimos por uno nuevo (que obviamente no participó del experimento hasta aquí). El nuevo mono ve las bananas e inmediatamente trata de subir por las escaleras. Para su horror, todos los otros monos lo atacan. Y obviamente se lo impiden. Luego de un par de intentos más, el nuevo mono ya aprendió: si intenta subir por las escaleras, lo van a golpear sin piedad.

Luego, se repite el procedimiento: se retira un segundo mono y se incluye uno nuevo otra vez. El recién llegado va hacia las escaleras y el proceso se repite: no bien la toca (la escalera), es atacado masivamente. No sólo eso: el mono que había entrado justo antes que él (¡que nunca había experimentado el agua helada!) participaba del episodio de violencia con gran entusiasmo.

Un tercer mono es reemplazado y no bien intenta subir las escaleras, los otros cinco lo golpean, impidiéndoselo. Con todo, dos de los monos que lo golpean no tienen ni idea del porqué uno no puede subir las escaleras.

Se reemplaza un cuarto mono, luego el quinto y por último, el sexto, que a esta altura es el único que quedaba del grupo original. Al sacar a éste, ya no queda ninguno que haya experimentado el episodio del agua helada. Sin embargo, una vez que el último lo intenta un par de veces, y es golpeado furiosamente por los otros cinco, ahora queda establecida la regla: no se puede subir por las escaleras. Quien lo hace se expone a una represión brutal. Sólo que ahora ninguno de los seis tiene argumentos para sostener tal barbarie.

Cualquier similitud con la realidad de los humanos, no es pura coincidencia ni casualidad. Es que así somos: como monos.

Esta historia me la contó mi sobrina Lorena, cuando todavía no se había graduado de bióloga en la UBA ni se había casado con Ignacio Demarco, otro biólogo. Pero siempre me impactó por todo lo que implica en cuanto se trata de explicar la conducta de los humanos (la fuente es De banaan wordt bespreekbaar, de Tom Pauka y Rein Zunderdorp, Nijgh en van Ditmar, 1988).

 Esta es la versión en un vídeo

https://youtu.be/rOPG-UXP1qY 






¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión?

¿En la enseñanza de las matemáticas también es necesaria esta reflexión? Tengo ejemplos anecdóticos para ilustrar esta idea,

Por ejemplo, ¿por qué en los libros de texto se usa "sen" para indicar el seno y no "sin", del latín sinus? Es raro hacerlo así porque "sin" es la notación usada por los clásicos y es la señalada por normas internacionale. ¿Por qué algunos profesores son reacios a enseñar el método de Gauss (el príncipe de las Matemáticas) para resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales?

Otras preguntas de más calado se pueden hacer en referencia a la enseñanza de las matemáticas¿Cuáles se te ocurren?....

jueves, 13 de agosto de 2015

Técnicas para enunciar criterios de divisibilidad


En esta entrada se ofrecen unas notas en las que se exponen diversas técnicas para enunciar critérios de divisibilidad de núneros expresados en el sistema de numeración decimal. Algunas técnicas son muy conocidas y otras no tanto.

La historia de este trabajito tiene para mi una anécdota muy entrañable. En 1984, cuando estaba destinado en Aranda de Duero, la familia hicimos una excursión para ver el monasterio de santo Domingo de Silos. En aquella época, Silos era un lugar que no tenía la importancia turística que tuvo más tarde. De hecho, en la visita estabamos nosotros solos. Esto permitió establecer una comunicación muy cordial con el fraile benedictino que nos guiaba en la visita. Cuando él se enteró de que yo era profesor de Matemáticas y de que mi suegro (que estaba con nosotros) también era matemático nos pidió pidió ayuda.
-- Tengo un hermano que se presenta a unas oposiciones y en el temario aperece una cuestión: "criterio de divisibilidad por siete". He estado buscando en la biblioteca del monasterio y no lo he podido encontrar. Os agradecería que me mandáseis una referencia para mandársela a mi hermano e incorporarla a la biblioteca del monasterio.
Rápidamente le expliqué un criterio de divisibilidad por siete muy poco conocido que había aprendido de mi padre (que tal vez lo leyó en algún libro de aritmética mercantil). De todas maneras, estimulado por la idea de quedar mi escrito archivado en la biblioteca del monasterio de Silos, mecanografié estas notas. Son de elaboración propia y están inspiradas, básicamente en el libro de Análisis algebraico de Rey Pastor y el libro de Análisis matemático del padre Chacón SJ. En el artículo se formula una conjetura, sin demostración, referida a los periodos de los restos potenciales de diez. Cuando le planteé el problema a mi amigo el famoso físico-matemático Alan Sokal me escribió una demostración cuyo manuscrito se incorpora al final del texto para los amantes de la matemática discreta. 

NOTA: Me han advertido que hay algún error en el ecaneo, debido a que el original es tamaño folio y no DIN A4. Hay algunas notas a pie de página que están incompletas. Para completarles las copio a continuación

Página 2
(**) Si un número es de la forma a = multiplo de k + q, entonces  son equivalentes:
a = multiplo de k  <=> q = múltplo de k.

Página 5 
(*) Se llama "gaussiano" de n con respecto al módulo, al menos g tal que se satisface la congruencia
n elevado a g es congruente con 1 módulo k 

Página 6
(*) Un hecho, que hemos observado, aunque no hemos encontrado demostración, es que en el caso de que k sea primo y el gausiano sea k-1, en la sucesión de restos potenciales se da una simetría consistente en que si se toman los restos por exceso y por defecto  demodo que su valor absoluto sea lo más pequeño posible, ,la primera mitad del periodo coincide con la segunda mitad, sólo que cambiada de signo.





Documento en Scribd

domingo, 26 de julio de 2015

Una paradoja financiera


Uno de las mejores maneras de entender en profundidad los conceptos y los modelos matemáticos que los relacionan es explicar paradojas.
Aquí os presentamos una paradoja financiera que involucra unas matemáticas muy sencillitas. Sólo hay que saber resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
¿Serías capaz de explicar en dónde está el fallo? 
 
En una ciudad  hay dos constructoras, A y B, que son empresas familares en manos de dos hermanos gemelos. Cada una de ellas posee un edificio de 10 millones de euros.

Asesorados por unos fondos de inversión deciden pasar de ser empresas privadas a ser empresas cotizadas en Bolsa.

Antes de salir a los mercados, y dados los lazos familiares, cada empresa cede el 50% a la otra otra empresa. Debido a la simetría evidente de esta operación, no hay intercambio de dinero.Vaya lo uno por lo otro.

Así que en el momento de salir a Bolsa, cada una de las empresas tiene un edificio de 10 millones de euros y el 50% de las acciones de la otra empresa.

¿Cuál es la valoración de cada una de estas dos empresas?

Si denotamos estas valoraciones (en millones de euros) como VA y VB tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

VA = 10 + 0,5 VB
VB = 10 + 0,5 VA


Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, resulta que

VA = 10 + 0,5 ( 10 + 0,5 VA)
=10 + 5 + 0,25 VA


Por tanto,

0,75 VA = 15
VA  = (15/0,75) = 20

De manera similar, también
 VB  =  20

 O sea, que por el mero hecho de salir a bolsa, el precio de cada una de las empresas es el doble que el valor de los edificios que tiene.


lunes, 15 de junio de 2015

Por qué "Mundo Arquímedes"





Durante este curso hemos etado trabajando con los alumnos de un curso de Cuarto de ESO para crear nuestro MUNDO ARQUÍMEDES, que se ha materializado en un trabajo escrito y en una exposición.  Muchos de los contenidos los habéis ido viendo en este blog. Otros aún están pendientes de subir.

Compartimos la presentación del trabajo, donde se justifica el porqué y el cómo.
Presentación 

Aquí se presenta el resultado de unos meses dándole vueltas a un personaje: Arquímedes. Durante este tiempo unas ideas nos han llevado a otras y cada vez más tenemos el sentimiento de que apenas hemos empezado a conocer algo del tema. Por eso no damos por terminado el trabajo. Esto no ha hecho nada más que empezar.

Santiago Ramón y Cajal en su libro “Los tónicos de la voluntad: Reglas y consejos sobre la investigación científica” decía que “Toda obra grande es fruto de la paciencia y la perseverancia, combinada con la atención orientada tenazmente durante meses, y aun años, a un objeto particular”. De acuerdo con el maestro, estamos convencidos de que uno de los mejores métodos de estimular la inteligencia es tener un tema en la cabeza. Un centro de interés. Al cabo del tiempo, todo lo que nos rodea nos lleva a profundizar más y más en él, a establecer nuevas conexiones. Mientras pulimos nuestras primeras ideas, elaboramos nuestro personal punto de vista. Poco a poco van naciendo ideas originales.

 ¿Por qué hemos elegido a Arquímedes? El físico e historiador de la Ciencia, Lucio Russo, en su trabajo “La revoluzione dimenticata” sostiene que Arquímedes es mucho más que el personaje de las anécdotas graciosas. Arquímedes y algunos de sus coetáneos, como Euclides, Hiparco, Conón, Eratóstenes y Apolonio, son protagonistas de una revolución olvidada que cristalizó en el mundo heleno durante el siglo III antes de Cristo. En ese tiempo se produjo un cambio radical en el paradigma del conocimiento. Una revolución que pudo haber cambiando el rumbo de la Humanidad. Lamentablemente la manera de ver el mundo que tenía Arquímedes se perdió por avatares de la Historia y no se recuperó hasta mucho después con personajes como Galileo y Descartes. En Arquímedes encontramos las ideas fundamentales de la Ciencia. Ese gran fenómeno cultural e ideológico de la Humanidad. Siguiendo la argumentación de Lucio Russo, la Ciencia no es tanto el conocimiento de esto o aquello, sino el método demostrativo que justifica lo observado y lo aplica a la técnica.

Mayo 2015