Noticias de Matemáticas

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jueves, 14 de abril de 2016

Matemáticas Gourmet. "Las esferas de Dandelin"



Por Antonio Rubio y Ángel de la Llave


Hoy traemos al apartado de Matemáticas Gourmet, con plena justicia, una demostración de Dandelin sobre las propiedades de la elipse, que titulamos “Las esferas de Dandelín

Es frecuente dar dos definiciones de la elipse:

1) Como lugar geométrico del plano (“La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante”) y

2) Como curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo que corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

Una demostración muy clara de la equivalencia de ambas definiciones viene en el libro de “Calculus”, de Tom Apóstol, que la presenta así:
“Hay un razonamiento muy simple y elegante que prueba que la propiedad focal de una elipse es consecuencia de su definición como sección de un cono.
Esta demostración fue descubierta en 1822 por el matemático belga G.P.Dandelin (1794-1847) utilizando dos esferas que son tangentes al cono y al punto secante tal como indica la figura 6.11. Estas esferas son tangentes al cono a lo largo de dos circunferencias C1 y C2. Se demostrará que los puntos F1 y F2 de contacto de las esferas con el plano son precisamente los focos de la elipse”

Desde que estudias la demostración de Dandelin quedas enamorado de ella.

La demostración se basa solamente en el hecho de que las distancias de las tangentes trazadas desde un punto a una esfera miden lo mismo. La demostración  de este lema la puedes leer más abajo.

Una vez establecido este lema, la demostración de Dandelin es una línea. Basta mirar la construcción para entenderla a la primera.

Por ello hemos construido un modelo tridimensional utilizando materiales de andar por casa. Puedes ver el resultado en esta foto y en este vídeo


Demostración 

Considerando las tangentes trazadas desde P a la primera esfera S1
PA1 = PF1
Cnsiderando las tangentes trazadas desde P a la segunda esfera S2
PA2 = PF2

Por consiguiente

PF1 + PF2 = PA1 + PA2 = la distancia  entre los paraleos C1 y C2 = constante

Lema

La longitud de cualquier tangente trazada a una esfera desde un punto exterior es una cantidad fija.

Demostración

En efecto, si P es el punto exterior, O es el centro de la esfera de radio r y T es el punto de tangencia en la superficie esférica. Por el teorema de Pitágoras resulta que PT es un cateto del triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la distancia PO y por otro cateto el radio, r, de la esfera.

Como consecuencia, el lugar geometrico de los puntos de tangencia de las tangentes trazadas a una esfera desde un punto, es un paralelo de la esfera. 



Para los amantes de la bibliografía, la demostración de Dandelin viene recogida en casi todos los cursos de geometría clásica.:

Recomendamos: Elements de Geometrie de FGM, Geometría FTD, Geometrría superior de Bruño, etc. Para los aficionados a las matemáticas diré que uno de los estudios más brillantes de las propiedades de las cónicas está, como es habitual, el libro de Geometría Métrica  de Pedro Puig Adam (libro II, lección 27).


domingo, 13 de marzo de 2016

Problemas para pensar


PROBLEMA DE LOS TRENES DEL PACÍFICO

Por la vía férrea del Pacífico, que une Nueva York con San Francisco, circulan los trenes directos entre las dos ciudades, que salen de una y de otra todos los días a las siete de la mañana y emplean siete días en el trayecto. Se pregunta: ¿El tren directo que sale de Nueva York con cuántos trenes directos se cruzará en su camino?


Fuente: "Ciencia recreativa" J. Estalella"

PROBLEMA DE LOS CILINDROS

La profesora reparte a sus alumnos una hoja de papel para que hagan un cilindro y calculen su volumen.

Alex lo hace así (enrollando sobre el lado corto):    


Berta lo hace así (enrollando sobre el lado largo): 

 
¿Tienen volúmenes iguales ambos cilindros?  Si no es así, ¿cuál es el de mayor volumen?


PROBLEMA DEL AVIÓN DE RECONOCIMIENTO

Un avión de reconocimiento vuela a 20.000 metros de altura. a) ¿Qué área de la superficie terrestre es capaz de observar? El radio de la Tierra es 6.371 km.

b) Generaliza el problema  para un observador que se halla a una altura h sobre la superficie terrestre.

c) Aplica la fórmula obtenida para los siguientes casos: 1) La Estación Espacial Internacional que está a 418 km. 2) Los satélites de la red GPS que están a 22.000 km. 3) Los satélites geoestacionarios que están a 35.787 km. Haz una gráfica.



lunes, 22 de febrero de 2016

Método de Galileo de medir el área debajo de la cicloide.



En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁSTICAS ya hemos dedicado varias entradas a la cicloide 

Ahora traemos el recuerdo de un experimento de Galileo.

Galileo, pensaba que la forma de las cicloides era ideal para construir arcos. Así que empezó a estudiar sus propiedades. Para calcular el área debajo de la cicloide se le ocurrió recortar en madera una cicloide y comparar su peso con el de tres círculos como los que generan la curva. Sorperendentemente el área debajo de la cicliode es excatamente TRES veces el área del circulo que la ha generado.


jueves, 4 de febrero de 2016

El hiperboloide elíptico de una hoja



Una de las cosas que más sorprende a la gente es que superficies muy alabeadas estén hechas a base solo de rectas. De hecho, algunas personas me comentaron que es un efecto óptico. A este tipo de superficies se les llama superficies regladas. En una definición más precisa, las superficies regladas se caracterizan por que para cada punto de la superficie hay una recta que pasa por él y que está completamente contenida en la superficie. Las superficies regladas tiene mucha importancia en la arquitectura y en la ingeniería ya que son muy estables debido a que su método constructivo se sostiene sobre estructuras de vigas y los encofrados se hacen a base de listones. Por ejemplo, esta chimenea.

Una buena introducción a las superficies regladas, es usar palillos y un poco de pegamento. Aquí os mostramos dos vídeos. En el primero se puede ver cómo se genera un hermoso hipérboloide al girar una recta. En el segundo se muestra un hiperboloide completo hecho a base de palillos. Las figuras se hacen girar para ver, también cómo se pueden generar por rotación.




¿Cómo deducir las ecuaciones del hiperboloide a partir de su construcción geométrica? Es un bonito ejercicio de geometría analítica al que os invito.
Otro reto más avanzado (solo para los estudiantes de matemáticas universitarios), es buscar cuál es la caracterización diferencial de las superficies regladas.Es muy sencilla y elegante!!

lunes, 25 de enero de 2016

Caleb Gattegno y las regletas Cuisenaire






La foto está extraída del libro de Pedro Puig Adam titulado "El material didáctico Matemático actual" que ya se comentó en APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS aquí 
  • CALEB GATTEGNO
En la foto aparece el profesor  Caleb Gattegno (1911-1988) uno de los más importantes matemáticos dedicado a la didáctica de las Matemáticas.


 "Yo no enseño, yo les dejo aprender" Caleb Gattegno

 Gattegno fue el gran difusor de los números de colores y las regletas CUISENAIRE

 Otra de las aportaciones didáctica de Caleb Gattegno es el Método silencioso para el aprendizaje de idiomas.
  • REGLETAS CUISENAIRE
Las regletas de Cuisenaire son un versátil juego de manipulación matemática utilizado en la escuela, así como en otros niveles de aprendizaje e incluso con adultos. Se utilizan para enseñar una amplia variedad de temas matemáticos, como las cuatro operaciones básicas, fracciones, área, volumen, raíces cuadradas, resolución de ecuaciones simples, los sistemas de ecuaciones, e incluso ecuaciones cuadráticas.

Los educacionalistas Maria Montessori y Friedrich Froebel usaron regletas para representar números.
Fue el belga Georges Cuisenaire (1891-1975) quien las introdujo para su uso con profesores a lo largo de todo el mundo a partir de 1945. Cuisenaire fue un profesor de escuela primaria de Bélgica, que publicó un libro sobre su uso en 1952, llamado Los números en colores. El uso de regletas es para la enseñanza tanto de las matemáticas como de idiomas fue desarrollado y popularizado por Caleb Gattegno, en muchos países de todo el mundo.

Sobre el uso de las Regletas Cuisenaire os invitio a leer este artículo de JOSE ÁNGEL MURCIA (Tocamates)










Si alguien desea comprarse una Regletas CUISENAIRE  o FRACTION BARS puede hacerlo aquí