martes, 27 de marzo de 2018

Unos libros llenos de perlas matemáticas curiosas e interesantes


Decía Isaac Newton:
"He sido como un niño jugando a la orilla del mar, que se divierte al encontrar de vez en cuando un guijarro más suave que los demás o una concha más bonita, mientras el gran océano de la verdad se extiende sin descubrir ante mis ojos".
Al estudiar matemáticas, todos hemos experimentado la sensación que nos cuenta Newton:. Hay ocasiones en las que descubrimos una perla especialmente hermosa, que nos llama la atención, que nos ilumina, nos descubre nuevas ideas, y nos abre caminos.

Hay algunos libritos que nos ayudan a descubrir esas perlas. Ya hemos hablado en otra entrada de uno de mis favoritos "Aventuras Matemáticas" de Miguel de Guzmán.

Hoy os traigo aquí tres libritos en inglés que podemos disponer on-line. Son unosmateriales encantadores, que van directamente al grano. Están escritos por el matemático y ajedrecista David Wells. Se publicaron en los años 90 en una colección  de diccionarios de la editorial Pinguin,










Otro libro que formula preguntas, que despiertan la curiosidad por las matemáticas es


lunes, 26 de febrero de 2018

Añadir dimensiones para ganar horizontes. Que lo urgente no nos haga perder la pasión por lo importante




Añadir dimensiones para ganar horizontes

En 1884 Edwin Abbott escribió un cuento con el título “Planilandia”. El cuento es una fantasía sobre cómo sería un mundo que solamente tuviese dos dimensiones. En realidad la historia es un pretexto para hacernos reflexionar sobre lo que limita nuestra mente considerar una cantidad escasa de dimensiones.

Por ejemplo, en un mundo unidimensional un simple punto es una frontera infranqueable. Por otra parte, si nuestro universo se reduce a una línea, una persona que cree avanzar por su mundo lineal puede que en realidad esté retrocediendo, si la línea se dobla sobre sí misma, como le ocurre a una circunferencia.

Otro ejemplo de las limitaciones a las que nos conduce considerar menos dimensiones de las que son razonables es esta: Imagina un mundo bidimensional. En él todas las figuras – los círculos, los triángulos, los cuadrados y todos los polígonos– son vistas como iguales. Todas las figuras planas, al mirarlas sin perspectiva, son simples segmentos, sin matices.

Al hablar de Educación muchas de las aparentes contradicciones y controversias adquieren luz y se resuelven si se consideran nuevas dimensiones de la cuestión. Nuevas dimensiones que descubren horizontes desconocidos hasta el momento. En esto es en lo que se reconocen las grandes ideas que iluminan y mueven a la acción en positivo.

Permitidme que comparta mi modesta experiencia. Hay ideas y vivencias que cambiaron mi modo de ver las cosas. Sin duda la que más me afectó fue leer “Carta a una maestra” de los alumnos de Barbiana e imbuirme del estilo milaniano que zambombea la comodidad de los caminos trillados. Otra revelación fue para mí leer el informe Delors y considerar los cuatro pilares de la educación a lo largo de la vida: aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a vivir con los demás y aprender a ser. También amplió mi horizonte considerar la educación como un proceso en el que hay que contemplar la educación formal, la educación no-formal y la educación informal. Personalmente, me dio vida desarrollar mi tarea educativa formando parte de un grupo humano maravilloso, involucrado en un contexto más amplio que los programas de una materia, y sentirme parte de un centro escolar, enclavado en un barrio, con un proyecto educativo y social, viéndolo todo dentro de un mundo que hay que liberar y humanizar: Como dicen los principios de la educación popular, la educación es un proceso comunitario que tiene una dimensión ética, una dimensión política y una dimensión pedagógica. No hace falta que ponga más ejemplos. Cada uno puede poner aquí los suyos, que me encantaría compartir.

Sigamos, pues, buscado entre todos nuevas dimensiones para mirar a la Educación desde ellas. Nuevas dimensiones con las que leer e interpretar el mundo, ganando perspectiva.

Por eso no hay que caer en la trampa de aceptar con naturalidad que nos pongan orejeras, abrumándonos con visiones estrechas que nos empobrecen.

En resumen, como conclusión, mi invitación es a leer a los grandes de la educación, conocer la historia de las ideas pedagógicas. Abrir la ventana y llenarnos de aire fresco para cargar las pilas.Que lo urgente no nos haga perder la pasión por lo importante.

"Si quieres construir una barca no reúnas hombres para cortar leña, preparar las herramientas, dividir las tareas e impartir órdenes, más bien despierta en ellos la nostalgia por el mar vasto e infinito”. 
A. Saint Exupery

sábado, 24 de febrero de 2018

Algunas reflexiones de Pedro Puig Adam sobre didáctica


Pocas cosas me resultan más agradables que leer y releer a Pedro Puig Adam.
Personaje al que ya dedicamos otras entradas en este blog:
 
Como modesto coleccionista de libros viejos tengo el gusto de disfrutar de, lo que creo, es casi toda la bibliografía de Pedro Puig Adam. Me falta "Didáctica eurísrica", libro que tengo en busca y captura.

Sus tres libros de Matemáticas Superiores son para mi una referencia permanente:

- Geometría Métrica (tomo I y tomo II).
- Cálculo integral.
- Ecuaciones Diferenciales.
 

También lo son las dos series de libros de texto de bachillerato. La de los años treinta (que escribía en dos versiones: modalidad racional y modalidad intuitiva) y la serie de libros de texto de los años cincuenta, Ambas series están hechas en colaboración con Julio Rey Pastor. También hay otros libros menores dedicados a la enseñanza media.

Sus libros, conferencias y artículos sobre educación y didáctica de las matemáticas son una delicia. Muchos de ellos se hallan recogidos en los libros:"Metodología matemática" "Metodología de la matemática elemental", "La Matemática y su enseñanza actual" y "El material didáctico matemático actual".  Precisamente el ejemplar que tengo de este último libro está dedicado y por eso dispongo de un preciado autógrafo de su autor, de donde he tomado la firma de Puig Adam que ilustra esta entrada del blog. 
Gracias a la digitalización de las revistas de educación, podemos consultar muchos de sus artículos en REDinED




Para conocer la vida, la personalidad y el trabajo de Pedro Puig Adam hay algunas referencias fundamentales: 

- La principal es el número 7 de la Nueva revista de enseñanzas medias que en 1985 dedicó un número homenaje a Pedro Puig Adam. (Número que tengo la suerte de tener)


 



También son buenas referencias para conocer la vida y la obra de Pedro Puig Adam: 


- "Carta a Don Pedro Puig Adam". Claudi Alsina Catalá. Y "Puig Adam,maestro" de  Josep Sales. Revista Suma, número 34. Junio 2000. Aquí 


- "La Lúcida voz del profesor Puig Adam". Artículo de María Eugenia Jiménez y Mercedes Pastor, contenido en el libro "El Instituto de San Isidro. Saber y patrimonio. Apuntes para una historia" CSIC. 2013. Aquí


- "Pedro Puig Adam" por Víctor Guijarro. dentro de la web dedicada a profesores que fueron becados por la Junta de Ampliación de Estudios http://ceies.cchs.csic.es/?q=content/puig-adam-pedro


- En la página web de la Sociedad "Puig Adam" de Profesores de Matemáticas hay diversos artículos y materiales dedicados a Puig Adam. Aquí

 "Pedro Puig Adam (1900-1960) artículo de Joaquín Hernández en Divulgamat. Aquí


- Información en la página web del IES San "Isidro". Aquí


- "La obra de Pedro Puig Adam. Homenaje en su centenario". J Ferández Biarge. Aquí 
 
Sorprendentemente, las reflexiones críticas que hacía Pedro Puig Adam a los métodos didácticos de su época siguen aún vigentes y los cambios metodológicos que proponía siguen en el cajón de las buenas intenciones. Lo que nos hace pensar que hemos avanzado muy poco.   


Como muestra, pongo algunas gotas del pensamiento pedagógico de Pedro Puig Adam.


CITAS DE PUIG ADAM


"... la formación del profesorado de Enseñanza Media había fomentado inconscientemente la falsa idea de que un Instituto era una Universidad en pequeño [...] ¡Cuánto camino había que recorrer (y falta por recorrer todavía en muchos centros) hasta llegar a la clase taller, a la cátedra sin estrado, a la cátedra sin cátedra, en la que el profesor, sin lugar especial para sí, está, sin embargo, en todas partes."
P. Puig Adam, 1953

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" Se ha tardado no poco en tener conciencia clara de que el acto de aprender es mucho más complicado que lo que supone la recepción pasiva de cononocimientos transmitidos; que no hay aprendizaje donde no hay acción, y que, en definitiva, enseñar bien ya no es transmitir bien, sino saber guiar al alumno en su acción de aprendizaje. Esta acción del alumno ha terminado así primando sobre la acción del maestro, condicionándole totalmente y subvirtiendo así la primacía inicial de sus papeles. El centro de atención de la enseñanza ya no es hoy el maestro, sino el alumno. Rotunda verdad, que, de puro sencilla, muchos maestros no han asimilado todavía."
Pedro Puig Adam, "Tendencias actuales en la Enseñanza de la Matemática". Revista de Educación. Marzo 1956.

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"Creo que toda preparación [de los exámenes de ingreso] termina en defotmación cuando las pruebas que se exige superar se realizan en masa y contra reloj".

Pedro Puig Adam. Prólogo de Geometría métrica I. 1947

 
"Es muy difícil ser buen educador y buen preparador a un tiempo. Admitido que el prestigio de los Centros de enseñanza esté involucrado al éxito de sus alumnos en ciertos exámenes; los profesores de los mismos tenderán fatalmente a fabricar con la materia prima de su alumnado un producto artificial adecuado a las mencionadas pruebas, sacrificando si es preciso los valores auténticamente formativos y aun la salud física y mental del alumno, quizás sin darse cuenta de ello. Sé que el mal tiene muy difícil remedio. pero no me parece imposible la humanización del régimen de pruebas mientras no sea alcanzable el ideal de la supresión de ellas, o lo que es lo mismo, convertir en prueba única la vida entera del escolar. "
 Pedro Puig Adam 1951. Conferencia "El valor formativo de las Matemáticas en la enseñanza media"


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Exigencias sociales pretenden señalarnos lo que debe aprender el escolar. Natural es que analicemos cuidadosamente si puede aprenderlo; pero aún es pedagógicamente más importante preguntarse si desea aprenderlo. La opinión pública todavía juzga inverosímil que pueda existir tal deseo, porque ignora la existencia de una pedagogía que consiste precisamente en saber despertarlo, en conquistar sutilmente el interés del escolar. Pesan todavía sobre la tarea pedagógica muchos estigmas, que una negra tradición ha sellado con refranes vergonzantes como el que afirma que "la letra con sangre entra". Y es natural que se quiera, en consecuencia reglamentar el esfuerzo no espontáneo, limitándolo en jornadas, como se relamenta un contrato de trabajo.

Hay que clamar, ante todo, por la mejora urgente de nuestros métodos y modos de enseñar; por una pedogogía liberadora que estimule deleitando sin que el precio del esfuerzo sea a sangre del alumno ni la del maestro. ¿Que para eso hacen falta buenos profesores? Pues de eso se trata.
 P. Puig Adam. "Sobre la jornada del niño" (artículo póstumo). Revista de Educación 1960 

sábado, 20 de enero de 2018

Por una pedagogía basada en el trabajo que hace el alumno en la escuela


"Si una mesa desordenada indica una mente desordenada, entonces, ¿qué indica una mesa vacía?" Albert Eintein

Aprender Matemáticas está relacionado con un trabajo laborioso y concentrado, que facilite la autocorrección. Un aprendizaje profundo de las matemáticas tiene como una de sus bases la perseverancia en la búsqueda tenaz de soluciones y de razonamientos correctos, así como el orden y el método.

Por otra parte, para aprender matemáticas nada se consigue si no hay un interés por aprender. Esta motivación imprescindible se consigue con la contenplación del trabajo personal bien hecho (como lo es un cuaderno de estudio bonito), con el hallazgo por uno mismo de una solución buscada, así como la valoración frecuente de los progresos hechos. Estas tres cosas hacen que estudiar e investigar sea un auténtico palcer. Por consiguiente, cuesta mucho enseñar  matemáticas cuando el contexto y el sistema de evaluación no favorecen el sossiego, la tranquilidad y el trabajo paciente.
En resumen, es fàcil aprender cuando hay una motivación intrínseca por el logro de un trabajo bien hecho y cuando los esfuerzos son valorados frecuentemente.

Por eso, a mi juicio, no es bueno que los alumnos carezcan de un puesto de trabajo propio en la escuela. No es bueno que todo el proceso de aprendizaje se fíe a los atajos de estudiar angustiado la noche antes de los exámenes y aprender a base de reglas, sin profundizar en ninguna idea. No es bueno, en mi criterio, que el aprendizaje se sustente en el tarabjo que hacen los alumnos en casa con ayudas ajenas (-el que las tiene-).
Si cada una de estas tres cosas por separado no es buena, todas juntas son una mezcla muy poco razonable. Me atrevería a decir que tóxica.
Una posible alternativa para superar estos métodos de enseñanza asentados sólamente en la perpetuación de tradiciones, es que un aula se parezca a un taller. En un taller los alumnos aprenden por si mismos, haciendo tareas, con la supervisión del profesor y el apoyo de los compañeros que intervienen puntualmente para superar los bloqueos. Los alumnos se sienten motivados por sus logros. Un método de aprendizaje a base de tareas abre muchas posibilidades de un trabajo eficaz, variado, estimulante y creativo. El método de trabajo de un taller lo mismo ayuda a los alumnos con más dificultades que estimula a los alumnos más brillantes. Además, en un taller el profesor establece un diálogo constante con con sus alumnos. Un diálogo que, por otra parte, le estimula,  le motiva y le hace feliz.

Siento gran tristeza cuando entro en un aula de Secundaria cuyo único mobiliario son mesas y sillas completamente vacías. Ni armarios, ni estanterías, ni libros, ni materiales de estudio; ni siquiera una decoración acogedora. Está claro que en un lugar así ni se trabaja, ni se piensa, ni se convive de una manera positiva. Una sensación completamente distinta es la que tengo al entrar en un taller de Formación Profesional donde todo invita a trabajar y disfrutar aprendiendo. 
Me entristece ver a los alumnos a diario traer y llevar sus libros y cuadernos de su casa al colegio y  del colegio a su casa  en un "mete-saca" continuo del material escolar. Todo él embarullado, mezclado con el chandal, la merienda, el balón, y qué sé yo. Entre los materiales que se "traen y se llevan" hay libros destrozados (que no se pueden reutilizar), cuadernos arrugados (en los que no apetece escribir), un maremagnum de fotocopias y fichas desordenadas (que no hacen más que estorbar). Por el contrario, en una mochila no hay sitio para unos buenos instrumentos de dibujo, ni para unos diccionarios o libros de consulta, ni  para  un atlas, ni para libros de lectura,.... (ninguna de las cosas que hacen que estudiar sea una tarea agradable).

Con la costumbre de que los alumnos no dispongan de un puesto de trabajo personal, el rendimiento en clase se resiente. Para arreglar falta de rendimiento en clase se encargan los deberes para casa. Con el ir y venir de los cuadernos y los libros no hay gusto por el orden que se resista, ni método de aprendizaje basado en la laboriosidad y la perseverancia que tenga lugar. No es posible con este método que el alumno experimente el placer que produce un trabajo bien hecho. Mal asunto es cuando el trabajo en el aula es generalmente una pérdida de tiempo que se resume en:  el profesor habla,  los alumnos no le escuchan, el profesor se enfada, los alumnos  piensan: déjame en paz ¿cuándo es el examen?  Ya lo aprenderé en Youtube o lo aprobaré con trampas.


Y, si añadimos a esto que no todas las familias son un modelo de orden, y que no en todas las casas se dispone de un espacio para trabajar, resulta que la escuela trabaja a contramáquina de la educación igual para todos. Ya en 1967 podíamos leer en "Carta a una maestra" de los alumnos de la escuela de Barbiana:
"….El que en casa no tiene ninguna ayuda, no hace los deberes difí­ciles o los deja a la menor dificultad y no saca ningún provecho de ellos. Lo peor es que el que no hace los deberes corre el riesgo de suspender; los deberes así son instrumento para seleccionar”
También me da pena ver a los alumnos andando nerviosos de un lado para otro con un papel en la mano. Un papel  que intentan memorizar porque tienen un examen a la hora suiguiente. ¿Qué tipo de capacidad se evalúa con un examen que se resuelve estudiando un papel unos minutos antes? Lo que para mi resulta más terrible es que para una mayoría de profesores, alumnos y familias  no se ve como disparatada esta práctica de la pedagogía "redbull", según la cual se aprende quedándose sin dormir la noche antes de los exámenes. Yo no me puedo inmaginar a Ramón y Cajal corriendo angustiado con su microscopio de un lado para otro, ni me puedo imaginar a Ortega y Gasset escribiendo un artículo de la Revista de Occidente a la carrera. Lo sensato para un sistema educativo no es valorar lo que se mide; sino medir lo que se valora.


Otro aspecto que me preocupa es que para tapar unos disparates pedagógicos, se busca la solución en sumar otros disparates educativos aún mayores. La falta del ambiente de laboriosidad en el aula se tapa con exámenes cada vez más absurdos, deberes para casa, un autoritarismo desagradable y un afán de exclusión de los alumnos que no ofrecen el rendimiento deseado.
 
¿Tan difícil es que en las aulas el alumno disponga de un puesto de trabajo agradable y que su material de estudio lo tenga siempre a mano? ¿Tan difícil es que a los alumnos se les valore por el sus progresos en el trabajo que hacen en la escuela? ¿Tan difícil es que las aulas dispongan del material adecuado para que sean un espacio bonito y acogedor donde se estudia y se convive de una manera sana? En un taller se aprovecha el tiempo, el profesor, y los propios alumnos, puede atender a los más atrasados, puede trabajarse de maneras diversas, es fácill la integración en la escuela y la atención a la diversidad.

Anéctota de John Dewey
(El padre de la pedagogía activa del "aprender haciendo")

Se dice que un fabricante de muebles, en una ocasión en que John Dewey intentaba encargarle unos bancos para su escuela, le respondió: "Usted desea muebles para que los niños trabajen y yo los tengo solo para que los niños escuchen".






Escuela activa 1918. En el Colegio Público Cervantes, que dirigía Ángel Llorca, cada alumno tenía su puesto de trabajo. El aula se parecía a un taller.







Pupitre con cajonera. A finales delsiglo XIX y principios del siglo XX se desarrolló el movimiento higienista. Se diseña un mobiliario específico adecuado para el estudio y el trabajo escolar cuidando la higiene postural del niño. Cada alumno tiene a mano, en su cajonera, el material que necesita para el estudio.

Curiosamente en la "Guía del maestro" de los hermanos Maristas de 1853 se habla del gran avance pedagógico que supone el abaratamiento del papel, gracias a lo cual los alumnos pueden disponer de cuadernos en los que trabajar y desarrollar el estudio a base de hacer cuadernos en clase.





Estaremos todos de acuerdo en que la escuela tiene que ser un contexto enriquecido de valores cívicos, éticos y culturales. Debe propiciar los hábitos intelectuales, el gusto por el trabajo sistemático, propiciar la reflexión pausada y creativa, ... Todas las pedagogias bien fundadas, ponen el centro de atención en lo que hace el alumno interaccionado con el medio, el profesor y sus compañeros. En las motivaciones profundas del aprendizaje. Y no tanto en los contenidos y su evaluación.  En efecto, para la escuela científica, de Montessori, La nueva escuela de Freinet, La educación popular, La Dopoescuela de Milani etc., el centro de atención es lo que hace el alumno, y cómo lo hace.

Estas aulas me gustan 

Escuela de Barbiana



Colegio Cervantes


miércoles, 6 de diciembre de 2017

Mi primer teorema: un teorema de Thales. Para despertar el gusanillo de hacer demostraciones



¡¡Cuánto echo de menos que se enseñe más Geometría en educación secundaria!! Es la herramienta ideal para despertar en los jóvenes el gusanillo por hacer demostraciones, y engancharlos a las matemáticas.

Dicen que la primera demostración, como tal,  de un teorema de  matemáticas se debe a Thales de Mileto. Es el conocido como segundo teorema de Thales, que dice

"Cualquier ángulo inscrito en una semi-circunferencia es recto"


Yo suelo hacerles la demostración a los alumnos de la ESO y descubro con mucho agrado que a los chicos les encanta ver que la parte más bonita de las matemáticas consiste en demostrar teoremas.

La demostración de este primer teorema se comprende con facilidad y demuestra un hecho que en principio sorprende por su generalidad. Es decir, este es, sin duda, un buen primer ejemplo para enseñar qué es un teorema de matemáticas y cómo se hace una demostración. (Herramientas básicas de la geometría)

La demostración se basa en estos dos hechos:
1) Los triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales. (Es el famoso pons asinorun del los Elementos de Euclides). Este resultado se puede hacer muy evidente doblando papel.
2) La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es un ángulo llano. Este resultado también se puede hacer evidente de manera muy intuitiva. Ver aquí.

Viendo la imagen del principio, resulta que para la demostración del teorema basta observar: Por un lado, que el triángulo ABO es isósceles porque tuiene dos lados que son iguales por ser radios de la misma circunferencia. Y por otro, que el triángulo BOC también es isósceles por tener dos lados iguales, que son radios de la misma circunferencia.

Este método de demostración es fácil generalizarlo para demostrar que los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales, e iguales al la mitad del ángulo central. Introduciendo después el concepto de "arco capaz", tan útil.....

Naturalmente, este tipo de cosas no entran en los exámenes.





 

jueves, 30 de noviembre de 2017

¿No habría que replantearse las EvAUB?



Creo que hoy en día las EvAUB son la ANTI-EDUCACIÓN.¿No merecería la pena replantearselas?

Acabo de recibir las instrucciones sobre el uso de las calculadoras en la EvAUB. ¡Vaya disparate! Ahora va a resultar que los alumnos van a tener que buscar en los mercadillos de la red calculadoras vintage que hace más de 20 años que ya no se fabrican. Ahora nos va  tocar a los profesores de matemáticas desincentivar a  a los alumnos para que no usan calculadoras modernas y menos aún programas informáticos.

La consecuencia de la psicosis por los exámenes es que todo lo que no entra en la EvAUB sale por la ventana:

- Hacer demostraciones.¡Fuera!
- Buscar información en libros ¡Fuera! 
- Comprobar las soluciones hasta estar seguro de lo que se dice ¡Fuera!
- Hacer ejemplos reales ¡Fuera!
- Estudiar laboriosamente ¡Fuera!
- Tener ganas de aprender cosas nuevas ¡Fuera!
- Ser tenaz hasta comprender, y profundizar en las ideas. ¡Fuera!
- Disfrutar aprendiendo y resolviendo problemas ¡Fuera!

¿Qué nos queda de las matemáticas si quitamos todo esto? ¿Qué nos queda del valor formativo de las matemáticas? Nada de Nada.

Y luego, para colmo, muchos alumnos a los que les gustan las matemáticas huyen de cursarlas porque les baja "la media". ¡Pues qué bien!

Es una evidencia que los alumnos de bachillerato eligen las asignaturas que cursan completamente al margen de su interés formativo (solo por por su influencia en las notas). Véase lo que ha pasado con la Religión en la LOMCE.