Noticias de Matemáticas

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martes, 14 de abril de 2015

Una escalera infinita



Fuentes: 

¿Pueden apilarse una serie de ladrillos de modo que algunos de ellos caigan completamente fuera de la base de sustentación?

La respuesta es sorprendentemente que SÍ. Más aún, puede colocarse un ladrillo tan lejos como se desee de la base de sustentación.

Esta paradoja clásica consiste en apilar una serie de ladrillos idénticos en una mesa, como en el diagrama.

Al ir añadiendo más ladrillos como se indica, podemos hacer que la escalera resultante sobresalga todo lo que queramos sin derrumbarse. Una escalera de n ladrillos , cada uno de longitud 2, sobresale una distancia
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n

Como esta serie (la serie armónica) es divergente, se concluye que el úntimo ladrillo puede colocarse tan lejos como se quiera de la base de sustentación.





Veamos en el siguiente vídeo cómo se hace en la práctica. ¡Es sorpendente!!




Una construcción de 900 antes de Cristo basada en este principio



martes, 17 de marzo de 2015

Regla de derivación del producto. Demostración (casi) sin palabras

Como profesor de matemáticas me queda un mal sabor de boca cuando explico las reglas sin justificación.

Para el caso de la regla de la derivación de un producto de funciones ofrezco esta demostración gráfica (casi) sin palabras (proofs without words).

Partimos de un producto de dos factores uv, que es el área del rectángulo pintado de color naranja. Si incrementamos cada uno de los factores, incrementamos el área en tres rectángulos (el azul, el amarillo y el blanco)
Si, ahora, dividimos los dos miembros de esta igualdad por el incremento de la variable independiente, Δx, para hallar la velocidad de crecimiento, resulta

 

Basta hacer un paso al límite cuando Δx tiende a cero para obtener la regla de derivación del producto

 

Ya que el último sumando tiende a cero porque es el producto de un término que tiende a cero, Δu, por otro, v'.

sábado, 21 de febrero de 2015

La copa de Aquímedes



Fuente de la imagen: http://cinicosdesinope.com/ciencias/el-invento-que-regula-la-codicia/


Cuentan que Arquímedes diseñó un vaso para evitar que los invitados a una fiesta abusasen tomando más de una cierta cantidad de vino.



El experimento:

Una botella de plástico a la que hemos cortado por el fondo nos va a servir de copa. En el tapón hacemos un agujero, por el que pasamos un tubo de plástico con el que hacemos un sifón dentro de la botella.  Después sellamos el tapón con pegamento.

Conforme se va llenando la copa se va cebando el sifón. Cuando se ceba por completo el sifón, el agua se descarga.


domingo, 15 de febrero de 2015

"El contador de arena" una novela de Gilliam Bardshaw sobre Arquímedes


Fuente (dónde encortrar la novela completa): http://www.librosmaravillosos.com/elcontadordearena/index.html

Una novela de Gilliam, Badshaw inpirada en Arquímedes


Resumen 
 
Adelantado a su tiempo y conocido universalmente por el célebre principio que lleva su nombre, el griego Arquímedes fue un pionero del actual método científico, además de notable matemático y pensador. Discípulo de Euclides e hijo del astrónomo Fidias, su azarosa vida resulta tan apasionante como formidable el poder de su intelecto. En esta rigurosa novela histórica, Gillian Bradshaw —autora de grandes éxitos como El faro de Alejandría, Púrpura imperial, Teodora, emperatriz de Bizancio y El heredero de Cleopatra— presenta al lector un Arquímedes de carne y hueso, un ser humano excepcional que, inmerso en la convulsa época que le tocó vivir, tuvo que enfrentarse a múltiples dilemas Deslumbrado por las maravillas de Alejandría tras una estancia de tres años y decidido a radicarse allí para siempre, el joven Arquímedes se ve obligado a volver a Siracusa, su ciudad natal, para ocuparse de su padre enfermo. El contraste no puede ser mayor: de la deslumbrante cuna del saber ha pasado a una ciudad entregada a los frenéticos preparativos para una cruenta guerra contra la poderosa Roma. Convertido por las circunstancias y el destino en el principal artífice de los ingenios bélicos con que se intentará repeler la invasión del coloso romano, Arquímedes atrae la atención del tirano Hierón, quien intenta retenerlo a toda costa en su corte. Y pese a que el mayor deseo del genial griego es volver a Alejandría para perfeccionar sus conocimientos y reunirse con Marco, el leal esclavo que lo ha acompañado desde siempre, un inesperado motivo lo empuja a permanecer en Siracusa, un motivo que ni siquiera su pasión por el saber y la ciencia podrá obviar y que, a la postre, lo obligará a recorrer un sendero salpicado de gloria, amor, guerra y traición.


Información muy completa sobre la obra de Arquímedes "Arenario"

viernes, 13 de febrero de 2015

Planetario de Arquímedes




Planetario de Arquímedes

Cicerón (106-43 aC) relata que después de la conquista de Siracusa en el 212 aC, el cónsul romano Marcelo llevó a Roma un globo celeste y un planetario construido por Arquímedes (287-212 aC). El planetario era un objeto extraordinario que, en cada rotación, mostraba la Luna y el Sol sobre la Tierra inmóvil, los eclipses de Luna y el Sol en intervalos de tiempo adecuados, así como los movimientos de los otros cinco planetas conocidos: Mercurio, Venus , Marte, Júpiter y Saturno (En la República, I, 14, 21-22; Tusculanas, I, 63). Este planetario también es mencionado por Ovidio (siglo I aC) en el calendario (VI, 263-283), por Lactancio (siglo IV dC) en sus Instituciones Divinas (II, 5, 18) y en un epigrama de Claudiano (siglo IV AD) titulado Esfera de Arquímedes. Añade Claudia que el instrumento fue encerrado en una esfera de cristal llena de estrellas.

Desafortunadamente, no hay una descripción detallada de los mecanismos que animaron planetario de Arquímedes. En 1974, el historiador de la ciencia Derek J. de Solla Price presume que el instrumento funcionó con engranajes similares a los presentes en el mecanismo de Antikythera que data del siglo I aC

 
Mécanismo de Antikythera


 En 1901, un grupo de buceadores rescataron un antiguo naufragio en las inmediaciones de la isla de Antikithera, frente a la costa meridional de Grecia. Se encuentraron un misterioso objeto - un trozo de piedra calcificada que contenía en su interior varias ruedas dentadas soldadas entre sí después de años bajo el mar. El objeto de 2.000 años de edad, no más grande que un ordenador portátil moderno, es ahora considerado como la máquina de calcular más antigua del mundo, Estaba ideado para predecir eclipses solares y, de acuerdo con los últimos hallazgos, calcular el tiempo de los antiguos Juegos Olímpicos. A raíz de los esfuerzos de un equipo internacional de científicos, los misterios del Mecanismo de Antikythera se desvelaron, revelando detalles sorprendentes e impresionantes del objeto que sigue desconcertando.










Para saber más 


  • Antikythera Mechanism Part 1: by Nature Video


http://youtu.be/DiQSHiAYt9
  • Antikythera Mechanism Part 2: by Nature Video

http://youtu.be/znM0-arQvHc


Aplicación didáctica



Como aplicación didáctica hemos construido un planetario inspirado en el que diseñó Arquímedes

En este vídeo se ve como funciona con un panel solar

El planetario lo compramos en esta tienda Y es este en Amazon Solar Planet kit




domingo, 8 de febrero de 2015

La espiral de Arquímedes y la trisección del ángulo



La espiral de Arquímedes es una curva mecánica ideada por el sabio de Siracusa con el fin de resolver el problema de la trisección del ángulo. El estudio de las espirales centró la atención de Arquímedes y uno de sus libros más complicados es el que tituló "Sobre las espirales":


Definición

Imagínese una línea que gira con velocidad angular constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en el mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral.


Las ecuación en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes es, pues,

r = k· t

La espiral de Arquímedes, también se llama espiral aritmética.

Para saber más aquí


Procedimiento mecánico de construcción de la espiral usando una escuadra.

Dibujemos una circunferencia de radio R.  Hagamos una escuadra en la que su brazo corto tenga por longitud el radio de la circunferencia. Sea el punto X, en el extremo de la escuadra que coincide con el centro de la circunferencia, tal como se ve en el dibujo.

Si se rueda el lado largo de la escuadra sobre la circunferencia, resulta


 MN = arco MP = R t

Como por ser una escuadra, MN = OX se tiene que el punto X describe una espiral de Arquímedes de ecuación

r = R· t


Trisección del ángulo usando la espiral de Arquímedes 

La trisección del ángulo se puede hacer fácilmente si tenemos ya construida una espiral de Arquímedes, de ecuaciones r = k t.  Siendo r, la distancia al origen y t el ángulo con respecto a la horizontal)

Coloquemos una espiral de Aquímedes con origen, O, en el vértice del ángulo que queremos trisecar. En el dibujo hemos usando el color rojo para representar la espiral. Sea Q el punto donde la espiral corta a uno de los lados del ángulo, como se ve en el dibujo.

Dividamos el segmento OQ en tres segmentos iguales, determinando los puntos Q1 y Q2. De tal manera que OQ1 = 1/3 OQOQ2 = 2/3 OQ.  [*]

Con centro en O, usando el compás, trasladamos las distancias OQ1 y OQ2 a la espiral, determinando en ella los puntos H1 y H2.  Es decir, se vrifica OH1 = OQ1 = 1/3 OQ  y   OH2 = OQ2 = 2/3 OQ

 Aplicando la definición de la espiral de Arquímedes resulta que las rectas OH1 y OH2 trisecan el ángulo QOP.

En efecto, si llamanos t1 al ángulo POH1,  t2 al ángulo POH2 y t3 al ángulo dado POQ, se tiene  que
por la definición de la espiral
OH1 = k t1
OH2 = k t2
OQ = k t3

y de la telación [*] tesulta que t1 = 1/3 t  y t2 = 2/3



Área encerrada por la espiral de Árquímedes 

Aquímedes calculó, utilizando el método de exhaución para calcular el área que encierra el radio vector de la espiral en su primera revolución. llegando al resultado que dice

"El área barrida por la espiral de Arquímedes en una vuelta es igual a 1/3 del área del cículo que la encierra




Una demostración con todo detalle puede verse aquí


 http://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Pappus/Bookiv/Pappus.iv.21-25/Pappus.iv.21_25.html


La espiral de Arquímedes y los números primos 

Una curiosoidad es la relación que existe netre la espiral de Arquímedes y la distibución de los números primos. (Espilral de Ulam)

http://youtu.be/pnYkK6PqUro

http://demonstrations.wolfram.com/SpiralOfPrimes/