jueves, 15 de septiembre de 2016

Matemática Gourmet: Construcción geométrica para hallar el inverso de un número

 En este enlace



https://www.geogebra.org/m/Ps8XCjaN

Puedes ver una constrcción geométrica de regla y compás para, dada la abscisa a de un punto (rojo) hallar la abscisa de su inverso 1/a, (verde).

Mueve usando el ratón el punto rojo para ver cómo funciona la construcción.

El reto que propone APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS es hacer la demostración.

PISTA: La circunferencia es de radio la unidad. Usar la semejanza de triángulos y el hecho de que los ángulos inscritos en una semicircunfereencia son rectos.

domingo, 29 de mayo de 2016

Grandes temas de la Matemática. Adrián Paenza


Durante el año 2014, el canal de divulgación científica de la televisión pública argentina, TEC-tv, produjo estos trece capítulos presentados por Adrian Paenza

Grandes temas de la matemática

El reconocido divulgador Adrián Paenza nos acerca interrogantes que tienen a la matemática como protagonista: ¿Es posible anticipar si un fenómeno se va a producir o no? ¿Cuál es la importancia de la noción de límite? ¿Cuántos problemas abiertos existen? ¿Qué son los números primos? Con su habitual sentido del humor, didáctica y la colaboración de especialistas invitados, el conductor nos demostrará que no sólo es posible responder estos cuestionamientos, sino también descubrir que la matemática nos acompaña en nuestra vida cotidiana y no es para nada aburrida.
Año de producción


Capítulo 1. El número PI
Capítulo 2. Los números primos
Capítulo 3. Los problemas abiertos
Capítulo 4. Fibonacci
Capítulo 5. Número E
Capítulo 6. Teoría de los juegos
Capítulo 7. Curvas
Capítulo 8. Probabilidades
Capítulo 9. Lógica y paradojas
Capítulo 10. Noción de límite
Capítulo 11. Topología
Capítulo 12. Combinatoria
Capítulo 13. Infinito



martes, 17 de mayo de 2016

¡EUREKA! Recreamos el Principio de Arquímedes


Es bien conocida la historia de Arquímedes saliendo desnudo del baño, gritando por las calles de Siracusa ¡Eureka! ¡Eureka!

El rey Hierón II había entregado a un joyero un lingote de oro para que le fabricase una corona. Una vez recibido el encargo, el rey desconfiaba de que el oro no hubiese sido mezclado con otro metal menos denso. La corona, ciertamente pesaba lo mismo que el oro entregado, pero ¿estaba hecha de oro puro?

La idea genial de Arquímedes fue pesar el lingote de oro y la corona sumergidos en agua. Cuando hacemos esto, el empuje del agua sobre la corona  falsa es mayor que el empuje sobre el lingote, ya que al tener la corona más volumen desplaza más líquido.

Principio de Arquímedes. Todo cuerpo sumergido en un líquido, experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen del líquido que desaloja. (El líquido tiende a ocupar su espacio y empuja al objeto intruso)    

EL EXPERIMENTO

Hemos recreado el experimento de Arquímedes para que los alumnos lo puedan vivir por sí mismos.

Hemos construido dos piezas de igual peso. Una, de metal dorado (el tirador de una puerta), que representa el lingote de oro. Otra, (un huevo de madera, lastrado hasta conseguir que pese lo mismo que la primera pieza, pintado de purpurina), que representa la corona adulterada.

También nos hemos construido una balanza, capaz de detectar cuando los pesos de ambos brazos están equilibrados.

1. Pesada en el aire

Estas dos piezas pesadas en el aire equilibran un balanza.

2. Pesada sumergidas las piezas en agua

¿Qué pasará si metemos las piezas un sendos vasos de agua, y repetimos la pesada?

La falsa corona sufre un empuje mayor que el lingote, debido a su mayor volumen que desplaza una mayor cantidad de agua. Con lo que la balanza se desequilibra.

Vídeo del experimento


    

PROBLEMA NUMÉRICO

Se dispone de dos piezas de metal A y B, ambas de 1 kg de peso.
La pieza A está hecha de oro puro. Y la pieza B a partes iguales en masa de oro y de plata.
La densidad del oro es 19,32 y la densidad de la plata es 10,5.
¿Cuál es la diferencia de pesos aparente de estas dos piezas cuando se pesan sumergidas en agua?

Respuesta: 21,75 g.
 

jueves, 12 de mayo de 2016

Demostración de Dundeney del Teorema de Pitágoras

Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
( H.E. Dundeney 1917)

Esta es la pimera demostración en la que se costruyen las áreas de los cuadrados de los catetos, a partir del cuadrado de la hipotenusa usando sólamente traslaciones (sin usar movimientos inversos)

Para visualizar mejor la demostración hemos usado papel de imán.







Para saber más sobre el teorema de Pitágoras, puede visitar esta entrada de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS




viernes, 6 de mayo de 2016

Matemáticas Gourmet: "¿Por qué la Torre Eiffel tiene forma de exponencial?" (Una ecuación funcional)




La peculiar forma de la Torre Eiffel no es sólo una cuestión estética. Tiene un motivo técnico: la estructura está construida con vigas de hierro remachadas. Con presión elevada, las vigas se doblan y los remaches saltan. Por ejemplo, si la torre tuviese forma cilíndrica los remaches situados cerca de la base recibirían una presión insoportable.

Esta circunstancia constructiva condiciona que la forma de la torre debe ser tal que todos los remaches, independientemente de la altura a la que se encuentren en la torre, deben soportar igual presión.

Planteémonos, pues, el siguiente problema:

Diseñar una torre (infinitamente alta) de modo que las secciones a cualquier altura reciban la misma presión.



jueves, 14 de abril de 2016

Matemáticas Gourmet. "Las esferas de Dandelin"



Por Antonio Rubio y Ángel de la Llave


Hoy traemos al apartado de Matemáticas Gourmet, con plena justicia, una demostración de Dandelin sobre las propiedades de la elipse, que titulamos “Las esferas de Dandelín

Es frecuente dar dos definiciones de la elipse:

1) Como lugar geométrico del plano (“La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante”) y

2) Como curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo que corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

Una demostración muy clara de la equivalencia de ambas definiciones viene en el libro de “Calculus”, de Tom Apóstol, que la presenta así:
“Hay un razonamiento muy simple y elegante que prueba que la propiedad focal de una elipse es consecuencia de su definición como sección de un cono.
Esta demostración fue descubierta en 1822 por el matemático belga G.P.Dandelin (1794-1847) utilizando dos esferas que son tangentes al cono y al punto secante tal como indica la figura 6.11. Estas esferas son tangentes al cono a lo largo de dos circunferencias C1 y C2. Se demostrará que los puntos F1 y F2 de contacto de las esferas con el plano son precisamente los focos de la elipse”

Desde que estudias la demostración de Dandelin quedas enamorado de ella.

La demostración se basa solamente en el hecho de que las distancias de las tangentes trazadas desde un punto a una esfera miden lo mismo. La demostración  de este lema la puedes leer más abajo.

Una vez establecido este lema, la demostración de Dandelin es una línea. Basta mirar la construcción para entenderla a la primera.

Por ello hemos construido un modelo tridimensional utilizando materiales de andar por casa. Puedes ver el resultado en esta foto y en este vídeo


Demostración 

Considerando las tangentes trazadas desde P a la primera esfera S1
PA1 = PF1
Cnsiderando las tangentes trazadas desde P a la segunda esfera S2
PA2 = PF2

Por consiguiente

PF1 + PF2 = PA1 + PA2 = la distancia  entre los paraleos C1 y C2 = constante

Lema

La longitud de cualquier tangente trazada a una esfera desde un punto exterior es una cantidad fija.

Demostración

En efecto, si P es el punto exterior, O es el centro de la esfera de radio r y T es el punto de tangencia en la superficie esférica. Por el teorema de Pitágoras resulta que PT es un cateto del triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la distancia PO y por otro cateto el radio, r, de la esfera.

Como consecuencia, el lugar geometrico de los puntos de tangencia de las tangentes trazadas a una esfera desde un punto, es un paralelo de la esfera. 



Para los amantes de la bibliografía, la demostración de Dandelin viene recogida en casi todos los cursos de geometría clásica.:

Recomendamos: Elements de Geometrie de FGM, Geometría FTD, Geometrría superior de Bruño, etc. Para los aficionados a las matemáticas diré que uno de los estudios más brillantes de las propiedades de las cónicas está, como es habitual, el libro de Geometría Métrica  de Pedro Puig Adam (libro II, lección 27).