Noticias de Matemáticas

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viernes, 23 de enero de 2015

La longitud de una circunferencia y el área de un círculo. Cálculo de PI por el método de Arquímedes



Un alumno de 4º de ESO o de Bachillerato está en condiciones de entender y disfrutar con una lectura en detalle del método de Arquímedes para rectificar una circunferencia y cuadrar un círculo, aproximando el valor del número pi.

Este tema es muy formativo porque reune ideas fundamentales de geometría, álgebra, límites, y métodos de cálculo numérico utilizando hojas de cálculo.


Descargrar el pdf  AQUÍ

Recursos GEOGEBRA:



La historia de PI (un vídeo de Tom Apostol)


El "Ludión" o diablillo de Descartes



[Ilustración del libro "Tratado de Física experimental y razonada" de A. Ganot]

El ludión es un juego que ideó Descartes basado en el pincipio de Arquímedes y el principio de Pascal.
Es un sencillo experimento que se puede hacer fácilmente en casa.




El diccionario de la RAE define así LUDIÓN

Ludión.

(Del lat. ludĭo, -ōnis, juglar, por la figurita que suele ponerse de lastre).

1. m. Aparato destinado a hacer palpable la teoría del equilibrio de los cuerpos sumergidos en los líquidos. Es una bola pequeña, hueca y lastrada, con un orificio muy pequeño en su parte inferior, por donde penetra más o menos cantidad de líquido cuando se sumerge en agua, según la presión que se ejerce en la superficie de esta.
Construcción 

Hemos usado: Un clip, una paja, un muñeco recortado lastrado por una grapa y una botella de plástico.



Explicación

Por el principio de Pascal la presión ejercida en la botella se transmite por todo el líquido haciendo entrar agua en la paja que presiona al aire que encierra.
Por aplicación del Pincipio de Aquímedes disminuye la flotación del cuerpo. El empuje de Arquímedes es el mismo, ya que el juguete sigue teniendo el mismo volumen, pero aumenta el peso del juguete al cambiar aire por agua en el interior de la paja.  

Este principio es el mismo que la vejiga natatoria de los peces y lo que hace funcionar los submarinos.



miércoles, 14 de enero de 2015

La paradoja mecánica



La "Paradoja mecánica" es un experimento que sirve para explicar el concepto de centro de gravedad.

La construcción del experimento es muy simple. Se necesita:
1) Unos listones de madera (fáciles de conseguir en cualquier tienda de molduras de madera),
2) Un cilindro (puede ser el eje de un rollo de papel de aluminio) y
3) Dos conos de poliespán que se pegan por las bases (estos conos los venden el las tiendas de manualidades o en almacenes de plásticos).

Lo que se observa es que el cono sube por los listones que forman un plano inclinado, desafiando, aparentemente, la ley de la gravedad.

Para entender lo que está pasando, hay que observar que lo que sube, o baja, es el centro de gravedad del doble cono. Mientras asciende por los listones, el centro de gravedad del bicono está bajando debido a la abertura de los listones..




Aplicaciciones didácticas

El cáculo de dónde están los centros de gravedad de algunas figuras da origen a muy buenas matemáticas. En proximas entradas nos dedicaremos a ello.

martes, 30 de diciembre de 2014

La geometría del bachillerato (1934) de Rey Pastor y Puig Adam



Esta entrada está destinada a recuperar la memoria de un viejo libro de texto de matemáticas usado a principios del siglo XX.

En APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS ya dedicamos otra entrada a recordar la figura de D. Ignacio Suarez Somonte y su original libro de texto de geometría sin figuras ni fórmulas.

Ahora traemos aquí dos libros de Geomertría  para el bachillerato de Julio Rey Pastor y Pedro Puig Adam, escritos en 1933.


Como dato de contexto hay que recordar que la República II derogó el Plan de bachillerato hecho durante la Dictadura de Primo de Rivera (Plan Callejo) y volvió a implantar el plan de estudios de 1903. En este plan, la Geometría se estudiaba en el tercer curso del  bachillerato con alumnos de 14 años. (Historia del bachillerato en España)

En el prólogo se explica que los libros son una adaptación hecha por Pedro Puig Adam de unos textos de bachillerato escritos por Julio Rey Pastor para la Argentina.

Hay dos versiones del mismo curso

Elementos y Complementos de Geometría (Colección elemental intuitiva) y otra que se titula Elementos de Geometría Racional en dos tomos, el primero dedicado a la geometría plana y el segundo a la del espacio. Estos últimos son los que aparecen en la imagen de más arriba.

En el libro se estructuran los conocimientos básicos de geometría de una manera muy clara y asequible. Hay algunos temas del tomo 2 que abordan resultados y métodos muy interesantes con más elaboración en los argumentos de las demostraciones. Uno de ellos es el que vamos a poner a continuación como muestra.

Ojalá pronto recuperemos el estudio de la Geometría clásica en la Enseñanza media que serviría muy bien para despertar vocaciones matemáticas

Ver:  Didáctica de la Geometría. Caja de Herrramientas de la geometria clásica

Como muestra ponemos una lección sobre el calculo de áreas en la superficie esférica. Esta lección, además, nos viene muy a propósito en nuestro estudio de Arquímedes. Disfrutad con la exposición.

 Lección 21. El área de las figuras esféricas







lunes, 29 de diciembre de 2014

La tumba de Arquímedes

 Fuente de la imagen 
http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Tomb/TombIllus.html]

En la necrópolis de Siracusa, en la puerta de Agrigento, se halla la Tumba de Arquímedes. En ella estaba esculpida una esfera dentro de un cilindro.

Los historiadores Plutarco y Tito Livio hicieron referencia a la tumba de Arquímedes. Tumba que buscó y descubrió Cicerón

En lo que sigue están recogidas las citas textuales que ghacen referencia a la tumba de Arquímedes. También podrás ver algunos cuadros que representan a Cicerón descubriendo la tumba de Arquímedes. 

La tumba de Arquímedes tenía una esfera inscrita en un cilindro haciendo referencia a lo que él consideraba que eran sus mejores ideas: 
1) El área de la superficie esférica es igual al área lateral del cilindro que la circunscribe.
2) El volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe.

Para una ampliación de la cuestión ver, por ejemplo, el artículo de Miguel de Guzmán "La mejor idea de Arquímedes"
   
Un artículo más en profundidad sobre el tema es: Arquímedes (La cubatura y la cuadratura de la esfera)

Si quieres, puedes ver antes, otras entradas de APRENDER Y ENSEÑAR MATEMÁTICAS dedicadas a

Fuente: En el blog NO MOLESTES MIS CÍRCULOS encontramos esta entrada:

Plutarco, en sus Vidas Paralelas capítulo 17 (Pelópidas  y  Marcelo) , nos describe a Arqiímedes  de la siguiente manera:

"Arquímedes poseyó un espíritu tan alto, un alma tan profunda, así como tesoros de conocimiento científico, que aunque estas invenciones ya le habían otorgado la fama de una sagacidad sobrehumana, él no se dignó a dejar cualquier comentario o escrito sobre tales temas; pero, repudiando como sórdido e innoble todo el comercio de la ingeniería, y todo tipo de arte que se preste a mero uso y provecho, situó todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras, donde no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida.Sus investigaciones, la superioridad de quien es incuestionable por los demás, y donde la única duda puede ser si la belleza y la grandeza de los sujetos examinados, de la precisión y la contundencia de los métodos y medios de prueba, más merecen nuestra admiración."

Tito Livio (Historia de Roma desde su fundación)  Libro XXV cuenta la muerte de Arquímedes

"Entre otros muchos horribles ejemplos de furia y rapacidad, destacó el destino de Arquímedes. Queda memoria de que, en medio de todo el terror y alboroto producido por los soldados que corrían por la ciudad capturada en busca de botín, estaba él absorto en silencio con algunas figuras geométricas que había dibujado en la arena y resultó asesinado por un soldado que no sabía quién era. Marcelo quedó muy apesadumbrado y se encargó de que su funeral se llevara a cabo apropiadamente; y tras haber descubierto dónde estaban sus familiares, fueron honrados y protegidos por el nombre y memoria de Arquímedes."
Plutarco, en sus Vidas Paralelas capítulo 17 (Pelópidas  y  Marcelo) , nos describe así cómo afecto a marcelo la muerte de Arqiímedes 

"Nada afectó a Marcelo tanto como la muerte de Arquímedes, que se encontraba entonces, así lo quiso el destino, absorto trabajando en algún problema mediante un diagrama, y habiendo fijado su mente y sus ojos sobre el tema de su especulación, no había notado la incursión de los romanos , ni que la ciudad estaba siendo tomada.
En este extasis de estudio y contemplación, un soldado, de forma inesperada   se le acercaba, le ordenó seguir a Marcelo, que se negó a hacerlo antes de que hubiera acabado su demostración; El soldado, enfurecido, sacó su espada y le dio muerte."
En el libro "Al margen de la clase. amenidades matemáticas" encontramos:

[Fuente: Rafael Rodríguez Annoni. Al margen de la clase. Amenidades matemáticas. Librería general. Zaragoza1959]

Cicerón, cuando fue cuestor de Lilibea, en Sicilia, visitó la tumba de Arquímedes. En las Cuestiones Tusculanas relata así el descubrimiento de la tumba de Arquímedes así:

"Puse yo todo mi desvelo en encontrar esta tumab. Los de Siracusa me afirmaban que no exiistía en absoluto. A fuerza de buscar la encontré al fin, cubierta de zarzas y malezas. En este descubrimiento,  fui guiado por ciertas líneasde una inscripción que se decía habían sido grabadas sobre el monumento, y que se referían a una esfera y un cilindo puestas en el vértice de la tumba. Mirando entre las numerosas tumbas que se encuentran hacia la puerta de Agrigento, me fijé en una pequeña columna que se elevaba sobre los matorrales: en ella estaban la figura de una esfera y un cilindro. Inmediatamente exclamé delante de los habitantes de Siracusa que me acompañaban: ¡Aquí está lo que yo busco! entonces se apresuraron a cortar las malezas y poner el emplazamiento al descubierto.
Terminado este trabajo nos acercamos a la tumba: Vimos allí la inscripción medio carcomida por el tiempo, Así que la más noble y en otro tiempo más instruída ciudad de Grecia, ignoraría el lugar del dsepulcro del más inteligente de sus ciudadanos, si un desconocido extranjero no hubiese ido allí para enseñárselo"


Acontinuación algunos cuadros que representan el momento en el que Cicerón descubre la tu,ba de Arquímedes tomados del blog TURISMO MATEMÁTICO








En TURISMO MATEMATICO se pueden encontrar maravillosas referencias de Arquímedes en la pintura y la escultura
Del mismo autor en Divulgamat


 

 


jueves, 25 de diciembre de 2014

Una calculadora científica on-line



La calculadora científica on-line que encontraréis aquí permite hacer muchas cosas:
introducir los datos desde el teclado,ver el historial de operaciones, resolver ecuaciones y dibujar gráficas, entre otras. Merece la pena echarle un vistazo.